Fonction exponentielle — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

Définition et propriétés

La fonction exponentielle $exp$ est l'unique fonction dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ . On note $exp (x) = e^{x}$ , et $(e^{x})^{'} = e^{x} > 0$ : elle est strictement croissante.

$e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ , $(e^{a})^{n} = e^{na}$ .

Lien avec le logarithme

$ln (e^{x}) = x$ pour tout $x$ , et $e^{l n x} = x$ pour $x > 0$ .

Croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ et $x \to - \infty lim x e^{x} = 0$ .

🔑 Formules clés à retenir

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ .
$e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ .

Fonction exponentielle — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

2 exercices

Propriétés algébriques et premières équations

Facile

Énoncé

1. Simplifier l'écriture des nombres suivants sous la forme $e^{k}$ (avec $k$ réel) :

$A = e^{3} \times e^{- 5}$ ; $B = \frac{e ^{7}}{e ^{2}}$ ; $C = (e^{2})^{4} \times e^{- 3}$ .

2. Résoudre dans $R$ l'équation $e^{2 x - 1} = 1$ .

3. On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = (2 x + 1) e^{x}$ . Calculer $f^{'} (x)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Calculs avec $e^x$, équation et dérivée d'un produit

Facile

Énoncé

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $e^{k}$ avec $k$ réel :

$A = e^{4} \times e^{- 1} \times e^{- 2}$ ; $B = \frac{( e ^{3} ) ^{2}}{e ^{5}}$ ; $C = \frac{1}{e ^{- 4}}$ .

2. Résoudre dans $R$ l'équation $e^{3 x + 2} = e^{x - 4}$ .

3. On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = (x^{2} - 1) e^{x}$ . Calculer $f^{'} (x)$ et la factoriser.

Ma réponse

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

2 exercices

Inéquation, dérivée de $e^{u}$ et variations

Intermédiaire

Énoncé

1. Résoudre dans $R$ l'inéquation $e^{x^{2} - 3 x} ⩽ e^{- 2}$ .

2. Soit $g$ la fonction définie sur $R$ par $g (x) = e^{- x^{2} + 4 x}$ .

a. Calculer $g^{'} (x)$ .

b. Étudier le signe de $g^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur $R$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Inéquation, dérivée de $e^{u}$ et étude des variations

Intermédiaire

Énoncé

1. Résoudre dans $R$ l'inéquation $e^{2 x + 1} > \frac{1}{e ^{x - 2}}$ .

2. Soit $g$ la fonction définie sur $R$ par $g (x) = e^{x^{2} - 4 x + 1}$ .

a. Calculer $g^{'} (x)$ .

b. Étudier le signe de $g^{'} (x)$ et en déduire les variations de $g$ sur $R$ .

c. Préciser la valeur du minimum de $g$ sur $R$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Difficiles

2 exercices

Étude complète d'une fonction avec croissances comparées

Difficile

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = (x - 2) e^{x} + 3$ .

1. Déterminer $x \to - \infty lim f (x)$ . On pourra utiliser $x \to - \infty lim x e^{x} = 0$ .

2. Déterminer $x \to + \infty lim f (x)$ .

3. Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .

4. Démontrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $R$ , et donner un encadrement de $α$ d'amplitude $0, 1$ .

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Étude de fonction, croissances comparées, TVI et tangente

Difficile

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = e^{x} + 2 x$ .

1. Déterminer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .

2. Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .

3. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $R$ , puis justifier que $- 1 < α < 0$ .

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .

5. On pose $g (x) = \frac{e ^{x}}{x}$ pour $x > 0$ . À l'aide des croissances comparées, déterminer $x \to + \infty lim g (x)$ .

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Inéquation, dérivée de $e^{u}$ et variations

Inéquation, dérivée de $e^{u}$ et étude des variations

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Étude complète d'une fonction avec croissances comparées

Étude de fonction, croissances comparées, TVI et tangente

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