Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(x-1)e^{-x}.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$. Préciser l'abscisse du point d'inflexion $I$ de la courbe.

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $0$.

4. En étudiant la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x)=f(x)-(x-1),$$ déterminer la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à la tangente $T$ sur l'intervalle où $f$ est convexe.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $$f(x)=\sqrt{x^2+3}.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $x\ge 0$.

2. Montrer que, pour tout $x\ge 0$, $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{3}{{\left(x^2+3\right)}^{\frac{3}{2}}}.$$ En déduire la convexité de $f$ sur $[0;+\infty [$. La courbe admet-elle un point d'inflexion sur $[0;+\infty [$ ?

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0=1$.

4. En utilisant la convexité de $f$, démontrer que pour tout $x\ge 0$ : $$\sqrt{x^2+3}\ge \frac{x}{2}+\frac{3}{2}.$$