1. Les quatre opérations de base

En 6ème, on maîtrise les quatre opérations sur les nombres entiers et les nombres décimaux :

Addition : on aligne les chiffres selon leur rang (unités sous unités, dizaines sous dizaines, etc.) et on additionne colonne par colonne en gérant les retenues.

Soustraction : on aligne de la même façon et on soustrait en gérant les emprunts. Le résultat s'appelle la différence.

Multiplication : on effectue des multiplications partielles puis on additionne. Le résultat s'appelle le produit. Attention au placement des zéros lors des multiplications partielles.

Division euclidienne : diviser $a$ par $b$, c'est trouver le quotient $q$ et le reste $r$ tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$. Quand $r=0$, on dit que $b$ divise $a$.

2. Priorités des opérations

Lorsqu'une expression contient plusieurs opérations, on respecte les règles de priorité :

1. On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures.

2. Ensuite, on effectue les multiplications et divisions (de gauche à droite).

3. Enfin, on effectue les additions et soustractions (de gauche à droite).

Exemple : $3+2\times 5=3+10=13$ (on ne calcule pas $5\times 5$).

3. Opérations sur les nombres décimaux

Un nombre décimal s'écrit avec une virgule. La partie après la virgule contient les dixièmes, centièmes, millièmes, etc.

Pour additionner ou soustraire des décimaux : on aligne les virgules les unes sous les autres, puis on opère colonne par colonne.

Pour multiplier deux décimaux : on effectue la multiplication en ignorant les virgules, puis on place la virgule dans le résultat en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.

Pour diviser un décimal par un entier : on pose la division normalement et on place la virgule dans le quotient quand on dépasse la virgule du dividende.

4. Multiples et diviseurs

Un entier $b$ est un diviseur de $a$ si la division de $a$ par $b$ a un reste nul. On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$.

Exemple : $3$ est un diviseur de $12$ car $12=3\times 4$. Donc $12$ est un multiple de $3$.

Les critères de divisibilité courants à connaître :

— Par 2 : le chiffre des unités est $0,2,4,6$ ou $8$.

— Par 3 : la somme des chiffres est un multiple de $3$.

— Par 5 : le chiffre des unités est $0$ ou $5$.

— Par 9 : la somme des chiffres est un multiple de $9$.

— Par 10 : le chiffre des unités est $0$.

5. Fractions et premières opérations

Une fraction $\frac{a}{b}$ (avec $b\ne 0$) représente le partage d'une unité en $b$ parts égales dont on prend $a$. $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur.

Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur : on additionne (ou soustrait) les numérateurs en gardant le même dénominateur. $$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$

Pour multiplier une fraction par un entier : $$k\times \frac{a}{b}=\frac{k\times a}{b}$$

Une fraction peut être simplifiée si le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun : $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

6. Ordre de grandeur et vérification des calculs

Un ordre de grandeur est une valeur approchée obtenue en arrondissant chaque nombre avant de calculer. Cela permet de vérifier qu'un résultat est cohérent.

Pour arrondir un nombre décimal à une certaine unité, on regarde le chiffre immédiatement à droite : s'il est $\ge 5$, on arrondit à l'unité supérieure ; s'il est $<5$, on garde l'unité inférieure.

Exemple : $47,83\times 3,2\approx 50\times 3=150$. Si le résultat exact est très éloigné de $150$, c'est qu'il y a une erreur.