Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Définitions

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ ; en coordonnées $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ . Deux vecteurs sont orthogonaux ssi $u \cdot v = 0$ .

Applications : équations de droites, projections, théorème d'Al-Kashi.

🔑 Formules clés à retenir

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

3 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

1 exercices

Calcul de produit scalaire, norme et orthogonalité

Facile

Énoncé

Dans un repère orthonormé $(O; i, j)$ , on considère les vecteurs $u (3; - 1)$ et $v (2; 6)$ .

1. Calculer le produit scalaire $u \cdot v$ .

2. En déduire que les vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux.

3. Calculer les normes $∥ u ∥$ et $∥ v ∥$ .

4. On donne le vecteur $w (4; k)$ . Déterminer la valeur du réel $k$ pour que $u$ et $w$ soient orthogonaux.

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

1 exercices

Angle entre deux vecteurs et équation cartésienne d'une droite

Intermédiaire

Énoncé

Dans un repère orthonormé $(O; i, j)$ , on considère les points $A (1; 2)$ , $B (4; 3)$ et $C (2; 5)$ .

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $A B$ et $A C$ .

2. Calculer $A B \cdot A C$ , puis les normes $∥ A B ∥$ et $∥ A C ∥$ .

3. En déduire une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle $B A C$ .

4. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par $A$ et de vecteur normal $n (3; 1)$ .

Ma réponse

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Exercices Difficiles

1 exercices

Théorème d'Al-Kashi et angle d'un triangle

Difficile

Énoncé

Dans un repère orthonormé $(O; i, j)$ , on considère le triangle $A B C$ défini par $A (- 1; 1)$ , $B (3; - 2)$ et $C (2; 4)$ .

1. Calculer les longueurs $A B$ , $A C$ et $B C$ . On donnera les valeurs exactes.

2. À l'aide du théorème d'Al-Kashi, calculer une valeur approchée au degré près de l'angle $B A C$ .

3. Retrouver le résultat de la question 2 en calculant $A B \cdot A C$ par les coordonnées, puis en utilisant la formule $A B \cdot A C = ∥ A B ∥ ∥ A C ∥ cos B A C$ .

4. En déduire l'aire du triangle $A B C$ .

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