Probabilités conditionnelles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

Conditionnement et indépendance

$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ . Arbre pondéré et formule des probabilités totales. $A$ et $B$ indépendants ssi $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

🔑 Formules clés à retenir

$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ .

Probabilités conditionnelles — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

3 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

1 exercices

Météo et retard du bus : arbre pondéré

Facile

Énoncé

Chaque matin, Lina prend le bus pour aller au lycée. On observe qu'il pleut un jour sur quatre. Les jours de pluie, le bus est en retard avec une probabilité de $0, 5$ . Les jours sans pluie, le bus est en retard avec une probabilité de $0, 1$ .

On choisit un jour au hasard. On note :

$∙$ $P$ l'événement « il pleut ce jour-là » ;

$∙$ $R$ l'événement « le bus est en retard ».

1. Donner $P (P)$ , $P_{P} (R)$ et $P_{\overline{P}} (R)$ , puis construire l'arbre pondéré de la situation.

2. Calculer la probabilité qu'il pleuve et que le bus soit en retard.

3. Montrer que la probabilité que le bus soit en retard est $P (R) = 0, 2$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

1 exercices

Test antigénique : probabilité totale et probabilité a posteriori

Intermédiaire

Énoncé

Dans une population, $4%$ des personnes sont porteuses d'un certain virus. On dispose d'un test rapide. Lorsqu'une personne est porteuse du virus, le test est positif dans $90%$ des cas. Lorsqu'une personne n'est pas porteuse, le test est positif dans $5%$ des cas (faux positif).

On choisit une personne au hasard et on lui fait passer le test. On note :

$∙$ $V$ l'événement « la personne est porteuse du virus » ;

$∙$ $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Traduire l'énoncé par $P (V)$ , $P_{V} (T)$ et $P_{\overline{V}} (T)$ , puis construire l'arbre pondéré.

2. Calculer $P (V \cap T)$ et $P (\overline{V} \cap T)$ .

3. En déduire la probabilité que le test soit positif.

4. Une personne a un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement porteuse du virus ? Arrondir au centième et commenter.

Ma réponse

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Exercices Difficiles

1 exercices

Deux machines et indépendance d'événements

Difficile

Énoncé

Une usine fabrique des pièces à l'aide de deux machines $A$ et $B$ . La machine $A$ produit $70%$ des pièces, la machine $B$ produit les $30%$ restants. Parmi les pièces issues de $A$ , $2%$ sont défectueuses ; parmi celles issues de $B$ , $6%$ sont défectueuses.

On prélève une pièce au hasard dans la production. On note :

$∙$ $A$ l'événement « la pièce provient de la machine $A$ » ;

$∙$ $B$ l'événement « la pièce provient de la machine $B$ » ;

$∙$ $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Construire l'arbre pondéré de la situation.

2. Montrer que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est $P (D) = 0, 032$ .

3. La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $B$ . Arrondir au centième.

4. Les événements $A$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.

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Exercices supplémentaires

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