1. Introduction au calcul littéral

Le calcul littéral consiste à utiliser des lettres (appelées variables ou inconnues) pour représenter des nombres. Cela permet d'écrire des propriétés générales et de résoudre des problèmes de façon abstraite.

Une expression littérale est une expression mathématique contenant au moins une lettre, par exemple $3x+5$ ou $2a-b$.

2. Écriture des expressions littérales

On simplifie l'écriture des produits avec des lettres :

On n'écrit pas le signe de multiplication entre un nombre et une lettre, ni entre deux lettres. On écrit $3\times a=3a$ et $a\times b=ab$.

On n'écrit pas le coefficient 1 devant une lettre : $1\times a=a$ (et non $1a$).

On écrit le nombre avant la lettre : $a\times 5=5a$.

Pour un quotient, on utilise la notation fraction : $a÷3=\frac{a}{3}$.

3. Calcul de la valeur d'une expression

Calculer la valeur d'une expression littérale consiste à substituer (remplacer) la lettre par un nombre, puis à effectuer les calculs.

Exemple : pour $4x-3$, si $x=5$, on obtient $4\times 5-3=20-3=17$.

Attention à respecter les priorités opératoires : on calcule les puissances, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

4. Réduire une expression littérale

Réduire une expression, c'est regrouper les termes semblables, c'est-à-dire les termes qui ont la même partie littérale.

Par exemple : $3x+5x=8x$ et $7a-2a+4=5a+4$.

On ne peut pas regrouper des termes de parties littérales différentes : $3x+2y$ ne peut pas être réduit davantage.

5. Développer une expression (distributivité simple)

Développer une expression, c'est supprimer les parenthèses en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

$$k\times (a+b)=k\times a+k\times b$$

$$k\times (a-b)=k\times a-k\times b$$

Exemple : $3(2x+5)=3\times 2x+3\times 5=6x+15$.

Exemple : $-2(x-4)=-2\times x+(-2)\times (-4)=-2x+8$.

6. Factoriser une expression (distributivité en sens inverse)

Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : on met un facteur commun en évidence pour introduire des parenthèses.

$$k\times a+k\times b=k\times (a+b)$$

Exemple : $6x+10=2\times 3x+2\times 5=2(3x+5)$.

Pour factoriser, on cherche le plus grand facteur commun à tous les termes.

7. Tester si un nombre est solution d'une équation

Une équation est une égalité comportant une inconnue (notée souvent $x$). Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

Pour tester si un nombre est solution, on substitue ce nombre dans l'équation et on vérifie que les deux membres sont égaux.

Exemple : tester si $x=3$ est solution de $2x+1=7$ : $2\times 3+1=7$ ✓. Oui, $3$ est bien solution.

8. Traduire un problème par une expression ou une équation

Le calcul littéral permet de modéliser des situations concrètes. On choisit une lettre pour représenter l'inconnue, on traduit l'énoncé en une expression ou une équation, puis on résout.

Exemple : « Un rectangle a une longueur de $x$ cm et une largeur de $3$ cm. Son périmètre est $2(x+3)$ cm. »