Suites adjacentes : définition, théorème, méthode et exemples

Qu'est-ce que deux suites adjacentes ?

Les suites adjacentes sont au programme de Terminale spé maths et offrent un théorème d'une rare efficacité : prouver qu'une suite converge sans calculer sa limite. C'est l'outil idéal pour encadrer des constantes que l'on ne sait pas exprimer simplement, comme $e$ ou $π$ .

Définition

Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes lorsque les trois conditions suivantes sont réunies :

$(u_{n})$ est croissante ;
$(v_{n})$ est décroissante ;
$n \to + \infty lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ .

Intuitivement, $(u_{n})$ « monte » et $(v_{n})$ « descend », et l'écart entre les deux s'efface : elles se rejoignent en un point unique.

Le théorème fondamental

Si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes, alors :

elles convergent toutes les deux vers la même limite $L$ ;
pour tout $n$ , on a l'encadrement $u_{n} \leq L \leq v_{n}$ .

Ce second point est précieux : il fournit gratuitement un encadrement de $L$ aussi précis qu'on le souhaite, en augmentant $n$ .

Pourquoi ce théorème est puissant

La plupart des théorèmes de convergence exigent de connaître ou de deviner la limite. Ici, l'existence de $L$ découle de la seule structure des deux suites. On démontre l'existence d'un nombre avant même de savoir le calculer — exactement ce dont on a besoin pour les nombres irrationnels ou transcendants.

Exemple résolu : encadrement de $e$

Posons pour $n \geq 1$ :

$u_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{n !}$ ;
$v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$ .

$(u_{n})$ est croissante. $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{( n + 1 )!} > 0$ .

$(v_{n})$ est décroissante. On calcule :

v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{( n + 1 )!} + \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 1 )!} - \frac{1}{n n !} .

En réduisant, on montre que cette quantité est $< 0$ pour tout $n \geq 1$ : $(v_{n})$ décroît.

L'écart tend vers $0$ . $v_{n} - u_{n} = \frac{1}{n \cdot n !} n \to + \infty 0$ .

Les trois conditions sont vérifiées : $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes. Elles convergent donc vers une même limite, et l'on prouve que cette limite est précisément $e$ . De plus, pour tout $n$ , $u_{n} \leq e \leq v_{n}$ . Par exemple, avec $n = 3$ : $u_{3} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{8}{3} \approx 2, 667$ et $v_{3} = u_{3} + \frac{1}{18} \approx 2, 722$ , ce qui encadre bien $e \approx 2, 718$ .

Méthode générale pour prouver l'adjacence

Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ et montrer qu'il est $\geq 0$ (la suite $(u_{n})$ croît).
Calculer $v_{n + 1} - v_{n}$ et montrer qu'il est $\leq 0$ (la suite $(v_{n})$ décroît).
Calculer $v_{n} - u_{n}$ et montrer que sa limite est $0$ .
Conclure : les suites sont adjacentes, donc convergent vers une même limite $L$ , avec $u_{n} \leq L \leq v_{n}$ .

Application : encadrer une racine par dichotomie

Soit $f$ continue et strictement monotone, possédant une racine $α$ dans $[a, b]$ . On construit deux suites adjacentes par dichotomie : à chaque étape, on coupe l'intervalle en deux et on conserve la moitié contenant la racine.

$u_{n}$ = borne inférieure de l'encadrement au rang $n$ (croissante) ;
$v_{n}$ = borne supérieure (décroissante) ;
$v_{n} - u_{n} = \frac{v _{0} - u _{0}}{2 ^{n}} \to 0$ .

Ces deux suites encadrent $α$ et convergent toutes deux vers lui : c'est le principe des méthodes d'approximation numérique.

Les pièges

Confondre adjacence et « simple convergence vers la même limite » : sans les conditions de monotonie, ce ne sont pas des suites adjacentes.
Ne prouver que deux des trois conditions. Les trois sont indispensables ensemble.
Conclure $(u_{n}) \to L$ sans avoir établi $(v_{n} - u_{n}) \to 0$ .
Oublier l'inégalité $u_{n} \leq L \leq v_{n}$ , alors qu'elle est souvent le but réel de l'exercice (encadrement numérique).

À retenir. Deux suites sont adjacentes si l'une croît, l'autre décroît, et leur différence tend vers

0

. Alors elles convergent vers une même limite

L

, encadrée par

u_{n} \leq L \leq v_{n}

pour tout

n

. Le théorème prouve l'existence de la limite sans la calculer.

Le lien avec le théorème de la limite monotone

Pourquoi des suites adjacentes convergent-elles forcément ? Parce que $(u_{n})$ est croissante et majorée par n'importe quel $v_{n}$ (en effet $u_{n} \leq v_{n} \leq v_{0}$ ), donc elle converge vers une limite $ℓ$ . De même, $(v_{n})$ est décroissante et minorée par $u_{0}$ , donc elle converge vers $ℓ^{'}$ . Comme $v_{n} - u_{n} \to 0$ , on a $ℓ^{'} - ℓ = 0$ , c'est-à-dire $ℓ = ℓ^{'}$ . C'est cette démonstration, fondée sur le théorème de la limite monotone, qui justifie tout le théorème des suites adjacentes.

Un réflexe de rédaction au bac

Quand un énoncé vous demande de prouver que deux suites convergent vers la même limite, vérifiez d'abord s'il s'agit de suites adjacentes : c'est presque toujours la piste attendue. Annoncez clairement « Montrons que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes », puis traitez les trois conditions dans l'ordre et numérotées. Terminez par la phrase type : « Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ étant adjacentes, elles convergent vers une même limite $L$ et, pour tout $n$ , $u_{n} \leq L \leq v_{n}$ . »

Pour aller plus loin : étudier une suite et le théorème de la bijection.