3 démonstrations : la version qui rapporte 4 points vs celle qui en perd 3

Pourquoi deux copies sur le même énoncé n'ont pas la même note

En mathématiques, ce n'est pas seulement le résultat qui rapporte des points, mais la rédaction : justifier chaque étape, citer le bon théorème, vérifier ses hypothèses. Deux élèves peuvent trouver la même réponse et obtenir l'un $5/5$, l'autre $2/5$. La différence se joue ligne par ligne.

Ici, je rédige trois démonstrations classiques de Terminale de deux façons :

• Version A — style « élève moyen », résultat correct mais rédaction trouée (note $2$ à $3/5$).
• Version B — style « copie à $18/20$ », chaque affirmation justifiée (note $5/5$).

Après chaque exemple, je liste les points perdus, là où le correcteur biffe.

Exemple 1 — Continuité d'une fonction prolongée

Énoncé. Soit $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x\ne 2$, et $f(2)=4$. La fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?

Version A (note 2/5)

« $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$. En $2$ ça fait $4$. Donc c'est continu. »

Version B (note 5/5)

« Pour $x\ne 2$, on factorise : $x^2-4=(x-2)(x+2)$, donc $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$.

On calcule la limite : $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$.

Or, par définition, $f(2)=4$. Comme $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$, la fonction $f$ est continue en $2$. »

Points perdus dans la version A

• La simplification n'est pas justifiée. Écrire $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ sans préciser « pour $x\ne 2$ » ni montrer la factorisation : $-0,5$.
• Pas de limite explicite. « En $2$ ça fait $4$ » : on ne calcule pas une valeur en un point où $f$ n'est pas défini, on calcule une limite. C'est le cœur de la notion de continuité : $-1$.
• Le critère de continuité n'est pas énoncé. Il faut comparer $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ et $f(2)$ et conclure par l'égalité : $-1,5$.

Exemple 2 — Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une solution dans $[0,1]$.

Version A (note 2/5)

« $g(0)=-1$ et $g(1)=1$. Ça change de signe donc il y a une solution. »

Version B (note 5/5)

« Posons $g(x)=x^3+x-1$. La fonction $g$ est un polynôme, donc continue sur $[0,1]$.

On calcule : $g(0)=-1<0$ et $g(1)=1+1-1=1>0$. Ainsi $0$ est compris entre $g(0)$ et $g(1)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c\in [0,1]$ tel que $g(c)=0$. L'équation admet donc une solution dans $[0,1]$.

De plus, $g^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ : $g$ est strictement croissante, donc cette solution est unique. »

Points perdus dans la version A

• La continuité n'est pas mentionnée. C'est l'hypothèse centrale du théorème : sans elle, le changement de signe ne prouve rien. $-1$.
• Le théorème n'est pas nommé. « Ça change de signe donc » n'est pas une justification : il faut citer le TVI. $-1$.
• Pas de variable conclusive. On doit affirmer l'existence d'un $c$ tel que $g(c)=0$. $-0,5$.

Exemple 3 — Récurrence

Énoncé. Montrer que pour tout entier $n\ge 1$, $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Version A (note 2/5)

« Vrai pour $n=1$. Si vrai pour $n$, alors pour $n+1$ on ajoute $n+1$ et ça marche. Donc vrai. »

Version B (note 5/5)

« Notons $P(n)$ : « $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ ».

Initialisation. Pour $n=1$ : le membre de gauche vaut $1$, le membre de droite $\frac{1\times 2}{2}=1$. Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n\ge 1$ fixé. Alors :

$$1+2+\cdots +n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1).$$

On factorise par $(n+1)$ : $\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=(n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right)=(n+1)\cdot \frac{n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.

C'est exactement $P(n+1)$. L'hérédité est établie.

Conclusion. Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 1$. »

Points perdus dans la version A

• La propriété $P(n)$ n'est pas définie. Sans énoncé clair de l'hypothèse de récurrence, la copie est inexploitable : $-1$.
• Le calcul d'hérédité est absent. « Ça marche » ne montre pas comment on passe de $P(n)$ à $P(n+1)$ : c'est l'étape qui rapporte le plus de points. $-1,5$.
• Pas de conclusion par le principe de récurrence. $-0,5$.

La grille mentale à appliquer sur chaque copie

1. Je nomme les objets ($f$, $g$, $P(n)$…) avant de les utiliser.
2. Je vérifie les hypothèses du théorème avant de l'invoquer.
3. Je cite le théorème par son nom.
4. Je rédige une phrase de conclusion qui reprend les termes de la question.

Pour aller plus loin

Consulte la fiche rédiger une démonstration et comment citer un théorème. S'entraîner à rédiger les deux versions soi-même, puis comparer, est l'exercice le plus rentable avant l'examen.