Barycentre : définition, méthode et exemples

Qu'est-ce qu'un barycentre ?

Le barycentre est le « point d'équilibre » d'un système de points affectés de coefficients (les masses ou poids). Intuitivement, si vous placiez des masses ${\alpha }_i$ aux points $A_i$ sur une plaque rigide, le barycentre serait le point où la plaque tient en équilibre sur la pointe d'un crayon. C'est un outil central de la géométrie vectorielle en Première spé Maths et il revient sans cesse au lycée et dans le supérieur.

Définition rigoureuse

Soit un système pondéré $\{(A_1,{\alpha }_1),(A_2,{\alpha }_2),\dots ,(A_n,{\alpha }_n)\}$ vérifiant la condition essentielle $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\ne 0$. Le barycentre $G$ est l'unique point du plan (ou de l'espace) tel que :

$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overrightarrow{G{A}_i}=\vec{0}$$

Cette égalité vectorielle traduit le fait que, vue depuis $G$, la « somme des forces pondérées » est nulle.

Comment calculer les coordonnées de $G$ ?

En partant de la définition et en introduisant un point quelconque $O$ (souvent l'origine du repère), on obtient la formule pratique. Notons $S=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i$. Alors :

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{S}\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overrightarrow{O{A}_i}$$

En coordonnées, cela revient à faire la moyenne pondérée des coordonnées des points. Si $A_i$ a pour coordonnées $(x_i;y_i)$, alors :

$$x_G=\frac{1}{S}\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i,y_G=\frac{1}{S}\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i$$

L'isobarycentre, un cas très fréquent

Lorsque tous les coefficients sont égaux (en pratique on les prend tous égaux à $1$), $G$ s'appelle l'isobarycentre du système.

• Deux points : l'isobarycentre de $A$ et $B$ est le milieu de $[AB]$.
• Trois points (un triangle) : l'isobarycentre est le centre de gravité, intersection des médianes, situé aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet.

Les deux propriétés à connaître absolument

Propriété d'homogénéité

Multiplier tous les coefficients par un même réel $k\ne 0$ ne change pas le barycentre. Ainsi, le barycentre de $\{(A,2),(B,4)\}$ est le même que celui de $\{(A,1),(B,2)\}$. Cela permet de simplifier les coefficients avant de calculer.

Propriété de réduction

Pour tout point $M$ du plan :

$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overrightarrow{M{A}_i}=\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\right)\overrightarrow{MG}=S\overrightarrow{MG}$$

C'est l'outil n°1 pour transformer une expression vectorielle compliquée en quelque chose de simple. On l'utilise pour réduire des sommes du type $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}$.

Le théorème d'associativité (essentiel pour les exercices)

Si $G$ est le barycentre de $\{(A,\alpha ),(B,\beta ),(C,\gamma )\}$ et si $H$ est le barycentre partiel de $\{(A,\alpha ),(B,\beta )\}$ (avec $\alpha +\beta \ne 0$), alors :

$$G=\mathrm{bar}\{(H,\alpha +\beta ),(C,\gamma )\}$$

Autrement dit, on peut remplacer un sous-système par son barycentre partiel, affecté de la somme de ses coefficients. C'est ce qui permet de localiser géométriquement $G$ sans calcul de coordonnées.

Exemple résolu pas à pas

Soit $ABC$ un triangle. On cherche à construire $G$, barycentre de $\{(A,2),(B,1),(C,1)\}$.

Étape 1 — Vérifier l'existence. La somme des coefficients vaut $S=2+1+1=4\ne 0$ : le barycentre existe bien.

Étape 2 — Regrouper par associativité. Soit $I$ le barycentre de $\{(B,1),(C,1)\}$. Comme les coefficients sont égaux, $I$ est l'isobarycentre de $B$ et $C$, c'est-à-dire le milieu de $[BC]$.

Étape 3 — Réduire le système. D'après l'associativité, $G$ est le barycentre de $\{(A,2),(I,1+1)\}=\{(A,2),(I,2)\}$. Les deux coefficients étant égaux, $G$ est le milieu de $[AI]$, donc le milieu de la médiane issue de $A$.

Vérification par la formule directe. Avec la propriété de réduction appliquée en $M=A$ :

$$\overrightarrow{AG}=\frac{2\overrightarrow{AA}+1\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AC}}{4}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}.$$

Or $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, donc $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}$ : on retrouve bien que $G$ est le milieu de $[AI]$. Les deux méthodes concordent.

Application : déterminer un lieu géométrique

De nombreux exercices demandent l'ensemble des points $M$ vérifiant une relation du type $\Vert \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}\Vert =k$. La stratégie est toujours la même :

1. Introduire le barycentre $G$ de $\{(A,\alpha ),(B,\beta )\}$.
2. Utiliser la propriété de réduction : $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha +\beta )\overrightarrow{MG}$.
3. La condition devient $|\alpha +\beta |\cdot MG=k$, soit $MG=\frac{k}{|\alpha +\beta |}$ : on reconnaît un cercle de centre $G$.

Les pièges classiques

• Oublier la condition $S\ne 0$. Si $\sum {\alpha }_i=0$, le barycentre n'existe pas ; en revanche le vecteur $\sum {\alpha }_i\overrightarrow{M{A}_i}$ est alors constant (indépendant de $M$), ce qui est souvent la clé de l'exercice.
• Se tromper de coefficient lors de l'associativité : le barycentre partiel reçoit la somme des coefficients regroupés, pas l'un d'eux.
• Confondre barycentre et isobarycentre : l'isobarycentre n'est qu'un cas particulier où tous les poids sont égaux.
• Inverser un signe dans $\overrightarrow{G{A}_i}$ vs $\overrightarrow{A_{i}G}$ : relisez toujours le sens des vecteurs.

À retenir

Un barycentre n'existe que si la somme des coefficients est non nulle. Pour le placer rapidement, deux réflexes : la propriété de réduction $\sum {\alpha }_i\overrightarrow{M{A}_i}=S\overrightarrow{MG}$ et le théorème d'associativité qui permet de regrouper les points. Les coefficients peuvent toujours être multipliés par une constante non nulle sans changer $G$.