DS de Seconde — Géométrie repérée & Vecteurs

Durée : 1h30 — Noté sur 20. Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. La calculatrice est autorisée. Toute réponse doit être justifiée.

Exercice 1 — Distances et milieu (7 points)

On considère les points $A(-3;2)$, $B(5;-2)$ et $C(1;6)$.

1. Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.
2. Calculer la longueur $AB$. On donnera la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{5}$.
3. Calculer les longueurs $AC$ et $BC$.
4. En déduire la nature du triangle $ABC$. Justifier.

Exercice 2 — Vecteurs et parallélogramme (7 points)

On considère les points $A(-2;-1)$, $B(3;1)$ et $C(4;4)$.

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
2. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
3. Vérifier votre résultat en montrant que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
4. Calculer les coordonnées du milieu de $[AC]$, puis celles du milieu de $[BD]$. Que constate-t-on ? Justifier.

Exercice 3 — Équation de droite et colinéarité (6 points)

On considère les points $E(-1;4)$ et $F(2;2)$, ainsi que les vecteurs $\vec{u}(3;-2)$ et $\vec{v}(-6;4)$.

1. Déterminer une équation réduite de la droite $(EF)$.
2. Le point $G(5;0)$ appartient-il à la droite $(EF)$ ? Justifier par le calcul.
3. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ? Justifier à l'aide du déterminant.