DS de Seconde — Fonctions

Exercice 1 — Lecture graphique (7 points)

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4;5]$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ passe notamment par les points $A(-4;1)$, $B(-2;3)$, $C(0;-1)$, $D(2;-1)$ et $E(5;4)$. La courbe descend de $A$ jusqu'à son point le plus bas situé en $x=1$ où $f(1)=-2$, puis remonte jusqu'à $E$.

1. Donner l'ensemble de définition de $f$.
2. Lire l'image de $-2$ par $f$.
3. Déterminer $f(0)$ et $f(2)$.
4. Donner tous les antécédents de $-1$ par $f$ (on s'appuiera sur les points fournis).
5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;5]$.
6. Quel est le minimum de $f$ sur $[-4;5]$ ? En quelle valeur est-il atteint ?
7. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>0$ n'est pas demandé ; en revanche, indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=3$ en justifiant par les variations.

Exercice 2 — Images, antécédents et calculs (7 points)

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2-4x+1$.

1. Calculer $g(0)$, $g(3)$ et $g(-1)$.
2. Le nombre $1$ a-t-il pour image $-2$ par $g$ ? Justifier par le calcul.
3. Déterminer les antécédents de $1$ par $g$ en résolvant l'équation $g(x)=1$.
4. On admet que pour tout réel $x$, $g(x)=(x-2{)}^2-3$. Vérifier cette égalité en développant.
5. En déduire le minimum de $g$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

Exercice 3 — Fonctions de référence (6 points)

On travaille avec les fonctions de référence du programme de Seconde : la fonction inverse $h$ définie sur $]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [$ par $h(x)=\frac{1}{x}$ et la fonction racine carrée $k$ définie sur $[0;+\infty [$ par $k(x)=\sqrt{x}$.

1. Calculer $h(2)$, $h\left(-\frac{1}{4}\right)$ et $k(9)$.
2. Sans calculatrice, comparer $\frac{1}{5}$ et $\frac{1}{8}$ en utilisant le sens de variation de la fonction inverse sur $]0;+\infty [$.
3. Comparer $\sqrt{7}$ et $\sqrt{10}$ en justifiant par le sens de variation de la fonction racine carrée.
4. Donner le sens de variation de la fonction inverse sur $]0;+\infty [$ et celui de la fonction racine carrée sur $[0;+\infty [$.
5. Résoudre l'équation $\sqrt{x}=4$, puis l'équation $\frac{1}{x}=2$.