DS de Seconde — Calcul & Équations

Durée : 1 h 30 — Noté sur 20. La calculatrice est autorisée. Le soin et la rédaction seront évalués. Tous les résultats doivent être justifiés.

Exercice 1 — Calcul numérique (7 points)

1. Calculer en détaillant les étapes et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible :

$A=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\times \frac{5}{8}$

2. Écrire $B$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un entier :

$B=5\sqrt{3}+\sqrt{75}-\sqrt{12}$

3. Donner l'écriture scientifique de :

$C=\frac{6\times 10^{-3}\times 4\times 10^5}{8\times 10^{-2}}$

4. Montrer que $D=(2\sqrt{5}-3)(2\sqrt{5}+3)$ est un entier, et préciser sa valeur.

Exercice 2 — Développer, factoriser (6 points)

1. Développer et réduire $E=(2x-3{)}^2-(x+1)(x-4)$.

2. Factoriser les expressions suivantes :

1. $F=(x-2)(3x+1)+(x-2)(x+5)$
2. $G=9x^2-25$
3. $H=x^2-6x+9$

3. On donne $K=(x+4{)}^2-49$. Factoriser $K$, puis résoudre l'équation $K=0$.

Exercice 3 — Équations et inéquations (7 points)

1. Résoudre l'équation : $5x-7=2x+8$.

2. Résoudre l'inéquation et représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée : $3(x-2)\le 5x+4$.

3. Résoudre l'équation produit : $(2x-1)(x+3)=0$.

4. Résoudre l'équation quotient (penser à la valeur interdite) : $\frac{x-5}{x+2}=0$.

5. À l'aide d'un tableau de signes, résoudre l'inéquation : $(2x-1)(x+3)\ge 0$.