DS de Première — Second degré & Suites

Durée : 2 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

Exercice 1 — Le saut du dauphin (7 points)

Lors d'un spectacle, un dauphin s'élance hors de l'eau. On modélise sa trajectoire dans un repère orthonormé : l'axe des abscisses représente le niveau de l'eau et l'abscisse $x$ (en mètres) est la distance horizontale parcourue depuis le point de sortie de l'eau. La hauteur du dauphin par rapport au niveau de l'eau, en mètres, est donnée pour $x\in [0;6]$ par $$h(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+3x.$$

1. Vérifier que le dauphin sort bien de l'eau en $x=0$, c'est-à-dire que $h(0)=0$.

2. Le dauphin retombe dans l'eau lorsque $h(x)=0$ avec $x>0$.

  a) Résoudre l'équation $h(x)=0$.

  b) En déduire la distance horizontale parcourue par le dauphin entre sa sortie et sa rentrée dans l'eau.

3. On souhaite déterminer la hauteur maximale atteinte par le dauphin.

  a) Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole représentant $h$.

  b) En déduire la hauteur maximale atteinte par le dauphin et la distance horizontale correspondante.

4. Un cerceau est placé à la hauteur de $4$ mètres. On cherche à savoir pour quelles abscisses le dauphin se trouve à une hauteur supérieure ou égale à $4$ mètres.

  a) Montrer que résoudre $h(x)⩾4$ revient à résoudre $-\frac{1}{2}{x}^2+3x-4⩾0$.

  b) Étudier le signe du trinôme $-\frac{1}{2}{x}^2+3x-4$ et en déduire l'ensemble des solutions de $h(x)⩾4$.

  c) Le dauphin reste-t-il au-dessus de $4$ mètres sur une distance horizontale d'au moins $2$ mètres ?

Exercice 2 — Forme canonique et factorisation (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=2x^2-12x+10.$$

1. Calculer le discriminant $\Delta$ du trinôme $f(x)$.

2. En déduire les racines de $f$, puis donner la forme factorisée de $f(x)$.

3. Déterminer la forme canonique de $f(x)$, c'est-à-dire l'écrire sous la forme $a(x-\alpha {)}^2+\beta$.

4. En utilisant la forme canonique, déterminer le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

5. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

6. Résoudre l'inéquation $f(x)<0$.

Exercice 3 — Un plan d'épargne (7 points)

Le 1^er janvier 2025, Léa ouvre un livret d'épargne en y déposant $800$ euros. Chaque année, le 1^er janvier, la banque verse des intérêts égaux à $2\%$ du montant présent sur le livret, puis Léa ajoute aussitôt $150$ euros.

On note $u_n$ le montant, en euros, présent sur le livret le 1^er janvier de l'année $(2025+n)$, juste après le dépôt de Léa. Ainsi $u_0=800$.

1. Calculer $u_1$, puis $u_2$. On arrondira au centime si nécessaire.

2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=1,02u_n+150.$$

3. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? est-elle géométrique ? Justifier.

4. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n+7500$ pour tout entier naturel $n$.

  a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme.

  b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n=8300\times 1,02^n-7500.$$

5. En quelle année le montant du livret dépassera-t-il pour la première fois $2000$ euros ?