DS de Première — Produit scalaire & Trigonométrie

Durée : 2 heures — Noté sur 20. La calculatrice est autorisée. Le soin et la rigueur de la rédaction seront pris en compte. Le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé.

Exercice 1 — Un triangle dans le plan (7 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;2)$, $B(5;4)$ et $C(2;6)$.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.
3. Calculer les longueurs $AB$ et $AC$ (valeurs exactes).
4. En déduire la valeur exacte de $\cos \widehat{BAC}$, puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés (arrondie au dixième).
5. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier.
6. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ et en déduire que l'angle $\widehat{ABC}$ est aigu.

Exercice 2 — Équations et identités trigonométriques (7 points)

On travaille sur l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$.

1. Résoudre dans $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\cos x=\frac{1}{2}$.
2. Résoudre dans $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. On pose $x=-\frac{2\pi }{3}$. Donner les valeurs exactes de $\cos x$ et $\sin x$.
4. Vérifier, pour ce $x$, l'identité ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.
5. Soit $\theta$ un réel tel que $\cos \theta =\frac{3}{5}$ et $\theta \in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$. Déterminer la valeur exacte de $\sin \theta$.
6. En déduire la valeur exacte de $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)$ à l'aide de la formule $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \theta$.

Exercice 3 — Synthèse : produit scalaire et angle (6 points)

On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\Vert \vec{u}\Vert =4$, $\Vert \vec{v}\Vert =3$ et l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vaut $\frac{\pi }{3}$.

1. Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$ à l'aide de la formule $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$.
2. En développant $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})$, déterminer la valeur exacte de $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert$.
3. De même, déterminer la valeur exacte de $\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert$.
4. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$ d'une autre manière en utilisant l'identité $\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{4}\left(\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2-\Vert \vec{u}-\vec{v}{\Vert }^2\right)$ et vérifier la cohérence avec la question 1.