DS de Première — Probabilités & Variables aléatoires

Durée : 2 heures — Noté sur 20. La calculatrice est autorisée. Les résultats numériques pourront être arrondis à $10^{-4}$ près. La qualité de la rédaction et la justification des réponses seront prises en compte.

Exercice 1 — Le bus du matin (6 points)

Léa prend chaque matin le bus pour aller au lycée. On observe le fonctionnement de la ligne sur une longue période.

• Il fait beau temps $70\%$ des jours ; on note $B$ cet événement, et $M$ l'événement « il fait mauvais temps ».
• Lorsqu'il fait beau, le bus est en retard avec une probabilité de $0,1$.
• Lorsqu'il fait mauvais, le bus est en retard avec une probabilité de $0,4$.

On note $R$ l'événement « le bus est en retard » un matin donné.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré complet.
2. Calculer la probabilité que le bus soit en retard et qu'il fasse mauvais temps, c'est-à-dire $P(M\cap R)$.
3. Montrer que $P(R)=0,19$.
4. Un matin, le bus est en retard. Quelle est la probabilité qu'il fasse mauvais temps ? On donnera la valeur arrondie à $10^{-4}$.
5. Le lycée note que le bus est à l'heure $81\%$ des jours. Cette affirmation est-elle cohérente avec les données précédentes ? Justifier.

Exercice 2 — L'atelier robotique (7 points)

Un club de robotique compte $55\%$ de filles et $45\%$ de garçons. On interroge un membre au hasard. On note $F$ l'événement « le membre est une fille » et $G$ « le membre est un garçon ».

Une enquête montre que :

• $80\%$ des filles déclarent aimer la compétition ;
• $60\%$ des garçons déclarent aimer la compétition.

On note $A$ l'événement « le membre interrogé aime la compétition ».

1. Construire l'arbre pondéré traduisant cette situation.
2. Calculer $P(F\cap A)$ et $P(G\cap A)$.
3. En déduire que $P(A)=0,71$.
4. Sachant que le membre interrogé aime la compétition, calculer la probabilité que ce soit une fille. Arrondir à $10^{-4}$.
5. Les événements $F$ et $A$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.
6. On interroge maintenant un membre qui n'aime pas la compétition. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Exercice 3 — Le test des composants (7 points)

Une usine produit des composants électroniques. On admet que chaque composant est défectueux avec une probabilité de $0,15$, et ce indépendamment des autres.

Un contrôleur prélève au hasard un lot de $8$ composants. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de composants défectueux dans ce lot.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Donner, à l'aide de la formule du cours, l'expression de $P(X=k)$ pour un entier $k$ compris entre $0$ et $8$.
3. Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux, c'est-à-dire $P(X=0)$. Arrondir à $10^{-4}$.
4. Calculer la probabilité qu'au moins un composant soit défectueux.
5. Calculer $P(X=2)$, puis la probabilité qu'il y ait au plus deux composants défectueux, $P(X⩽2)$.
6. Déterminer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$ de $X$. Interpréter la valeur de $E(X)$.
7. Le lot est refusé dès qu'il contient au moins $3$ composants défectueux. Quelle est la probabilité que le lot soit refusé ?