DS de Première — Dérivation & Exponentielle

Durée : 2 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants, à traiter dans l'ordre de votre choix.

Exercice 1 — Étude d'une fonction (8 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(x^2-3x+1){\mathrm{e}}^x.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer $f(0)$ et $f(1)$.

2. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer que, pour tout réel $x$, $$f^{\prime }(x)=(x^2-x-2){\mathrm{e}}^x.$$

3.

1. Vérifier que, pour tout réel $x$, $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (les limites aux bornes ne sont pas demandées). On précisera les valeurs exactes des extremums locaux.

4. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

5. Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de la tangente $\mathcal{T}$ au voisinage du point d'abscisse $0$ n'est pas demandé ; en revanche, déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$, puis préciser si cette tangente est croissante ou décroissante.

Exercice 2 — Un quotient avec exponentielle (7 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I=]-2;+\infty [$ par $$g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x+2}.$$

1. Justifier que $g$ est bien définie sur $I$.

2. On admet que $g$ est dérivable sur $I$. Montrer que, pour tout $x\in I$, $$g^{\prime }(x)=\frac{(x+1){\mathrm{e}}^x}{(x+2{)}^2}.$$

3.

1. Déterminer le signe de $g^{\prime }(x)$ sur $I$.
2. En déduire les variations de $g$ sur $I$.
3. Montrer que $g$ admet un minimum sur $I$ et donner sa valeur exacte.

4. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $0$.

Exercice 3 — Modélisation (5 points)

Lors d'une expérience, la concentration d'un produit (en grammes par litre) à l'instant $t$ (en heures, avec $t⩾0$) est modélisée par la fonction $h$ définie sur $[0;+\infty [$ par $$h(t)=(2t-1){\mathrm{e}}^{-t}.$$

1. Calculer $h(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'expérience.

2. Résoudre dans $[0;+\infty [$ l'équation $h(t)=0$. Interpréter.

3. On admet que $h$ est dérivable sur $[0;+\infty [$. Montrer que, pour tout $t⩾0$, $$h^{\prime }(t)=(3-2t){\mathrm{e}}^{-t}.$$

4. Étudier le signe de $h^{\prime }(t)$ et dresser le tableau de variations de $h$ sur $[0;+\infty [$ (les limites en $+\infty$ ne sont pas demandées).

5. En déduire l'instant où la concentration est maximale, et la valeur exacte de cette concentration maximale.