DS n°2 — Divisibilité, calcul littéral et probabilités (5ᵉ)

Durée : 60 min — 40 points — La calculatrice est autorisée. Le soin et la rédaction sont notés.

Exercice 1 — Divisibilité (8 points)

On considère le nombre $N=2340$.

1. Parmi les nombres $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ et $10$, indiquer par lesquels $N$ est divisible. Justifier à l'aide des critères de divisibilité. (3 pts)
2. Décomposer $N$ en produit de facteurs, en écrivant $2340=234\times 10$, puis $234=2\times 117$. Continuer jusqu'à n'obtenir que des nombres premiers. (2 pts)
3. Un fleuriste dispose de $2340$ roses. Il veut composer des bouquets identiques contenant chacun le même nombre de roses, sans qu'il en reste. Peut-il faire des bouquets de $9$ roses ? de $4$ roses ? Justifier. (2 pts)
4. Le nombre $2340$ est-il un multiple de $6$ ? Justifier. (1 pt)

Exercice 2 — Calcul littéral et distributivité (9 points)

1. Développer et réduire chacune des expressions suivantes : (4 pts)
   • $A=5(x+3)$
   • $B=4(2x+7)$
   • $C=3(x+2)+2(x+5)$
   • $D=7(3x+1)-4x$
2. On considère un rectangle de longueur $(x+4)$ cm et de largeur $3$ cm. (3 pts)
   • a. Exprimer son périmètre $P$ en fonction de $x$, puis réduire.
   • b. Exprimer son aire $\mathcal{A}$ en fonction de $x$ à l'aide de la distributivité, puis réduire.
3. Calculer la valeur de l'expression $E=3(x+2)$ pour $x=5$, de deux façons (avec et sans développement). (2 pts)

Exercice 3 — Statistiques et probabilités (9 points)

Dans une classe de 5ᵉ, on a relevé le nombre de frères et sœurs de chacun des $25$ élèves. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Nombre de frères et sœurs	0	1	2	3	4
Effectif (nombre d'élèves)	4	9	7	3	2

1. Vérifier que l'effectif total est bien $25$. (1 pt)
2. Combien d'élèves ont au moins $2$ frères et sœurs ? (1 pt)
3. Calculer le nombre moyen de frères et sœurs par élève dans cette classe. (2 pts)
4. On choisit un élève au hasard dans la classe. (4 pts)
   • a. Quelle est la probabilité que cet élève soit enfant unique (0 frère et sœur) ? Donner le résultat sous forme de fraction.
   • b. Quelle est la probabilité qu'il ait exactement $1$ frère ou sœur ?
   • c. Quelle est la probabilité qu'il ait au moins $1$ frère ou sœur ?
5. Est-il plus probable qu'un élève choisi au hasard ait $2$ frères et sœurs ou qu'il en ait $3$ ? Justifier. (1 pt)

Exercice 4 — Cercle et disque (7 points)

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $r=5$ cm. On prendra $\pi \approx 3,14$.

1. Quelle est la longueur du diamètre de ce cercle ? (1 pt)
2. Calculer la longueur (le périmètre) du cercle $\mathcal{C}$. Arrondir au dixième de cm. (2 pts)
3. Calculer l'aire du disque délimité par $\mathcal{C}$. Arrondir au dixième de cm². (2 pts)
4. $[AB]$ est un diamètre du cercle et $M$ est un point du cercle. On admet que le triangle $ABM$ est rectangle en $M$. Sachant que $AM=6$ cm, calculer la longueur $BM$. (2 pts)

Exercice 5 — Symétrie centrale et repérage (7 points)

Le plan est muni d'un repère. On considère les points $A(2;3)$, $B(-4;1)$ et $O(0;0)$.

1. Placer les points $A$, $B$ et $O$ dans un repère (unité : 1 carreau). (2 pts)
2. On note $A^{\prime }$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$. Déterminer par lecture (puis par calcul) les coordonnées de $A^{\prime }$. (2 pts)
3. On note $B^{\prime }$ le symétrique de $B$ par rapport à $O$. Déterminer les coordonnées de $B^{\prime }$. (1 pt)
4. Que peut-on dire du point $O$ pour le segment $[A{A}^{\prime }]$ ? Citer la propriété de la symétrie centrale utilisée. (1 pt)
5. Citer une autre propriété conservée par la symétrie centrale (par rapport aux longueurs, aux angles ou aux aires). (1 pt)