DS n°2 — Racines, trigonométrie, vecteurs et volumes (4ᵉ)

DS n°2 — Racines, trigonométrie, vecteurs et volumes

Niveau : 4ᵉ  ·  Durée : 75 min  ·  Total : 50 points

La calculatrice est autorisée. Toute réponse doit être justifiée. Le soin et la rédaction sont notés.

Exercice 1 — Racines carrées (10 points)

1. Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible :
   a) $\sqrt{50}$    b) $\sqrt{18}$    c) $\sqrt{75}$
2. Calculer et donner le résultat le plus simple possible :
   a) $\sqrt{50}-\sqrt{18}$    b) $\sqrt{12}\times \sqrt{3}$    c) ${\left(2\sqrt{5}\right)}^2$
3. On donne $A=\sqrt{75}+2\sqrt{3}$. Montrer que $A=7\sqrt{3}$.
4. Un carré a une aire de $45{\text{cm}}^2$. Donner la valeur exacte de son côté sous la forme $a\sqrt{b}$, puis une valeur approchée au dixième de centimètre.

Exercice 2 — Équation et inégalité du premier degré (8 points)

1. Résoudre l'équation : $5x-7=2x+8$.
2. Résoudre l'inéquation : $3x-5\le 7x+11$. Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
3. Résoudre l'inéquation : $-2x+9>1$. Attention au sens de l'inégalité !
4. Problème. Un forfait de sport coûte $20$ € d'inscription, puis $4$ € par séance. Léa dispose de $60$ €. Combien de séances au maximum peut-elle payer ? Poser une inéquation et la résoudre.

Exercice 3 — Trigonométrie dans le triangle rectangle (10 points)

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. On donne $AB=6\text{cm}$ et $\widehat{BAC}=35^{\circ }$.

1. Préciser, par rapport à l'angle $\widehat{BAC}$, le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse.
2. Calculer la longueur $BC$. Arrondir au millimètre.
3. Calculer la longueur $AC$. Arrondir au millimètre.
4. Dans un autre triangle $DEF$ rectangle en $E$, on a $DE=8\text{cm}$ et $EF=5\text{cm}$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{EDF}$, arrondie au degré.

Exercice 4 — Vecteurs et repérage (8 points)

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1;2)$, $B(5;4)$ et $C(2;-1)$.

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
2. Placer le point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Calculer les coordonnées de $D$.
3. Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ? Justifier.
4. Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AD]$.

Exercice 5 — Volumes et solides (8 points)

1. Une boîte cubique a une arête de $5\text{cm}$. Calculer son volume.
2. Un réservoir a la forme d'un cylindre de rayon $3\text{cm}$ et de hauteur $10\text{cm}$. Calculer son volume. Donner la valeur exacte (en fonction de $\pi$) puis une valeur approchée au ${\text{cm}}^3$.
3. Une pyramide a une base carrée de côté $6\text{cm}$ et une hauteur de $9\text{cm}$. Calculer son volume.
4. Une boule a un rayon de $3\text{cm}$. En utilisant $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, calculer son volume arrondi au ${\text{cm}}^3$.

Exercice 6 — Pythagore et fonction affine (6 points)

Partie A. Un triangle $RST$ a pour côtés $RS=9\text{cm}$, $ST=12\text{cm}$ et $RT=15\text{cm}$.

1. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier par un calcul.

Partie B. On considère la fonction affine $f$ définie par $f(x)=2x-3$.

2. Calculer $f(4)$.
3. Déterminer l'antécédent de $5$ par $f$ (c'est-à-dire résoudre $f(x)=5$).
4. La représentation graphique de $f$ passe-t-elle par le point $P(0;-3)$ ? Justifier.