DS n°1 — Puissances, équations, Pythagore et Thalès (4ᵉ)

Durée : 75 minutes — Barème : 50 points. La calculatrice est autorisée. Toute réponse doit être justifiée par un calcul.

Exercice 1 — Puissances (8 points)

1. Écris sous la forme d'une seule puissance de $2$ : $$\begin{gathered} A=2^5 \\ times{2}^3 \end{gathered}$$ et $$\begin{gathered} B= \\ dfrac{2}^7{2}^4 \end{gathered}$$. (2 pts)
2. Calcule et donne le résultat sous forme d'un nombre entier : $$\begin{gathered} C=3^2 \\ times{3}^0 \end{gathered}$$. (1,5 pt)
3. Écris $D=5^{-2}$ sous la forme d'une fraction, puis donne sa valeur décimale. (2 pts)
4. Donne l'écriture scientifique du nombre $$\begin{gathered} E=42 \\ ,000 \end{gathered}$$. (1,5 pt)
5. Calcule $$\begin{gathered} F=(10^3{)}^2 \\ times10^{-4} \end{gathered}$$ et donne le résultat sous forme décimale. (1 pt)

Exercice 2 — Équations du premier degré (9 points)

Résous chacune des équations suivantes (présente les étapes).

1. $3x+5=20$ (2 pts)
2. $7x-4=2x+11$ (3 pts)
3. $5(x-2)=3x+4$ (3 pts)
4. Problème : Amine pense à un nombre. Il le multiplie par $4$ puis ajoute $7$ ; il obtient $31$. Écris une équation puis retrouve le nombre pensé. (1 pt)

Exercice 3 — Fonctions linéaires (8 points)

On considère la fonction linéaire $f$ définie par $f(x)=3x$.

1. Calcule $f(4)$ et $f(-2)$. (2 pts)
2. Quel est le coefficient de la fonction linéaire $f$ ? (1 pt)
3. Détermine l'antécédent de $15$ par la fonction $f$ (c'est-à-dire le nombre $x$ tel que $f(x)=15$). (2 pts)
4. Situation : Un fromager vend son fromage à $18$ € le kilogramme. Le prix payé est-il proportionnel à la masse achetée ? Si oui, exprime le prix $P$ (en euros) en fonction de la masse $m$ (en kg), puis calcule le prix pour $2,5$ kg. (3 pts)

Exercice 4 — Théorème de Pythagore (8 points)

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On donne $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.

1. Fais une figure à main levée. (1 pt)
2. Calcule la longueur de l'hypoténuse $BC$. (3 pts)
3. Un autre triangle $DEF$ a pour côtés $DE=5$ cm, $EF=12$ cm et $DF=13$ cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifie à l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore. Si oui, précise en quel sommet. (4 pts)

Exercice 5 — Théorème de Thalès (9 points)

Sur la figure, les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne :

$AM=3$ cm, $quadAB=9$ cm, $quadAN=4$ cm, $quadMN=5$ cm.

1. Écris les rapports égaux donnés par le théorème de Thalès dans cette configuration. (2 pts)
2. Calcule la longueur $AC$. (3 pts)
3. Calcule la longueur $BC$. (4 pts)

Exercice 6 — Statistiques (8 points)

Voici les notes obtenues par un élève au cours du trimestre :

$$\begin{gathered} 12 \\ quad15 \\ quad8 \\ quad14 \\ quad15 \\ quad10 \\ quad15 \\ quad11 \end{gathered}$$

1. Combien de notes y a-t-il ? Quel est l'effectif total ? (1 pt)
2. Calcule la moyenne de ces notes. (3 pts)
3. Range les notes dans l'ordre croissant, puis détermine la médiane. (3 pts)
4. Quelle est la note la plus fréquente (le mode) ? (1 pt)