Brevet blanc de maths n°9 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°9

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (14 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $B=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}\times \frac{2}{9}$ est égal à :
   a. $\frac{19}{12}$    b. $\frac{5}{4}$    c. $\frac{11}{6}$
2. Le PGCD de $180$ et $48$ est :
   a. $6$    b. $12$    c. $24$
3. Le nombre $\frac{8\times 10^3\times 5\times 10^{-6}}{2\times 10^{-2}}$ est égal à :
   a. $2\times 10^{-1}$    b. $2$    c. $2\times 10^1$
4. On développe $(2x-5{)}^2$. On obtient :
   a. $4x^2-25$    b. $4x^2-20x+25$    c. $4x^2+25$
5. La solution de l'équation $5x+7=2x-8$ est :
   a. $x=-5$    b. $x=5$    c. $x=-\frac{1}{3}$

Exercice 2 (14 points)

Un fleuriste prépare des bouquets identiques pour un mariage. Il dispose de $156$ roses et de $108$ tulipes. Il veut utiliser toutes ses fleurs et que chaque bouquet contienne le même nombre de roses et le même nombre de tulipes.

1. Décomposer $156$ et $108$ en produits de facteurs premiers.
2. En déduire le nombre maximal de bouquets identiques qu'il peut réaliser.
3. Pour ce nombre maximal de bouquets, combien y a-t-il de roses et de tulipes dans chaque bouquet ?
4. Chaque bouquet est vendu $25$ €. Le fleuriste accorde une remise de $20\%$ sur le prix total à la mariée qui achète l'ensemble des bouquets. Quel montant la mariée paie-t-elle ?

Exercice 3 (14 points)

Un train relie la gare de Mirevent à la gare de Solbourg, distantes de $315$ km. Le train part de Mirevent à $14$ h $00$.

1. Sur la première partie du trajet, le train roule à la vitesse moyenne de $180$ km/h pendant $1$ h $30$ min. Quelle distance parcourt-il durant cette première partie ?
2. Il s'arrête $10$ minutes dans une gare intermédiaire, puis parcourt les kilomètres restants à la vitesse moyenne de $135$ km/h. Calculer la durée de cette dernière partie, en heures et minutes.
3. À quelle heure le train arrive-t-il à Solbourg, en tenant compte de l'arrêt ?
4. Un train direct effectue le trajet de $315$ km en $2$ h $15$ min sans arrêt. Calculer sa vitesse moyenne, en km/h.

Exercice 4 (14 points)

Un professeur d'EPS a relevé le nombre de paniers marqués par chacun des $13$ élèves de son groupe lors d'une séance de basket. Voici la série :

$69411979159313910$

1. Calculer le nombre moyen de paniers marqués par élève. Arrondir à $0,1$.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte.
3. Déterminer l'étendue et le mode de la série.

Pour désigner un capitaine, on place dans un sac $13$ jetons, chacun portant le prénom d'un élève. Parmi ces $13$ élèves, $4$ ont marqué au moins $10$ paniers. On tire un jeton au hasard.

4. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le prénom d'un élève ayant marqué au moins $10$ paniers ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
5. Quelle est la probabilité que l'élève désigné ait marqué strictement moins de $10$ paniers ?

Exercice 5 (12 points)

Une association de robotique propose deux formules pour assister à ses ateliers du samedi.

• Formule Découverte : $7$ € par atelier, sans inscription.
• Formule Passion : une inscription de $40$ € pour l'année, puis $3$ € par atelier.

On note $x$ le nombre d'ateliers suivis dans l'année.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule Découverte, puis le prix $g(x)$ payé avec la formule Passion.
2. Calculer le prix de chaque formule pour $8$ ateliers.
3. Parmi $f$ et $g$, indiquer laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
4. Résoudre l'équation $7x=40+3x$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Un passionné prévoit de suivre $15$ ateliers dans l'année. Quelle formule a-t-il intérêt à choisir ? Justifier.

Exercice 6 (16 points)

Dans un parc, on installe un toboggan. La rampe de glisse $[SA]$ part du sommet $S$ d'une plateforme et arrive au sol au point $A$. Le poteau vertical $[SB]$ soutient la plateforme, et $B$ est le pied du poteau, planté au sol. Le triangle $SBA$ est rectangle en $B$.

[Figure : triangle SBA rectangle en B ; SB (poteau vertical) = 2,4 m ; BA (distance au sol entre le pied du poteau et l'arrivée) = 1,8 m ; SA est la rampe de glisse, hypoténuse.]

1. Calculer la longueur $SA$ de la rampe de glisse.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{SAB}$ que fait la rampe avec le sol, arrondie au degré près.

Sur la rampe $[SA]$, on fixe une poignée de sécurité au point $N$, reliée horizontalement au poteau en un point $M$ du segment $[SB]$. La droite $(MN)$ est parallèle au sol $(BA)$, avec $M\in [SB]$ et $N\in [SA]$. On donne $SM=1,6$ m.

[Figure : segment MN parallèle à BA ; M sur [SB], N sur [SA] ; SM = 1,6 m mesuré depuis le sommet S.]

3. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$.

Exercice 7 (8 points)

Un artisan fabrique des bougies en forme de cylindre. Une bougie a un rayon de base de $3$ cm et une hauteur de $10$ cm. On rappelle que le volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ est $V=\pi R^{2}h$.

1. Montrer que le volume d'une bougie est environ égal à $282,7$ cm${}^3$. Arrondir à $0,1$ cm${}^3$.
2. La cire utilisée a une masse volumique de $0,9$ g/cm${}^3$. Calculer la masse de cire d'une bougie. Arrondir au gramme.

Pour une commande spéciale, l'artisan réalise une bougie géante, agrandissement de la bougie précédente dans le rapport $k=3$.

3. Quelles sont les dimensions (rayon et hauteur) de la bougie géante ?
4. Par combien le volume de la bougie est-il multiplié lorsqu'on agrandit dans le rapport $k=3$ ? En déduire le volume de la bougie géante, arrondi à $1$ cm${}^3$.

Exercice 8 (8 points)

On considère le programme de calcul suivant, écrit pour un logiciel de type Scratch.

[Programme (type Scratch) :]

• Demander un nombre et le stocker dans la variable n.
• Mettre resultat à $(n-2)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}\times n)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}+6)$.
• Dire la valeur de resultat.

1. On choisit $n=4$. Quelle valeur le lutin affiche-t-il à la fin ? Détailler les étapes.
2. On choisit $n=-1$. Quelle valeur est affichée ?
3. Pour un nombre $n$ quelconque, écrire en fonction de $n$ l'expression donnant le résultat affiché, sous forme développée et réduite.
4. Montrer que choisir $n=0$ donne le même résultat affiché que choisir $n=2$.