Brevet blanc de maths n°8 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°8

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (14 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}$ est égal à :
   a. $\frac{2}{3}$    b. $\frac{1}{4}$    c. $\frac{3}{4}$
2. Le PGCD de $126$ et $84$ est :
   a. $14$    b. $21$    c. $42$
3. Le nombre $\frac{3\times 10^{-2}\times 4\times 10^5}{6\times 10^4}$ est égal à :
   a. $2\times 10^{-1}$    b. $2$    c. $2\times 10^3$
4. On factorise $25x^2-9$. On obtient :
   a. $(5x-3{)}^2$    b. $(5x-3)(5x+3)$    c. $(25x-9)(x+1)$
5. La solution de l'inéquation $3x-5⩽7$ est :
   a. $x⩽4$    b. $x⩾4$    c. $x⩽\frac{2}{3}$

Exercice 2 (14 points)

Une médiathèque municipale réaménage sa salle de lecture. Le responsable commande des étagères et étudie les coûts.

• Chaque étagère coûte $48$ € et peut contenir $130$ livres.
• La médiathèque possède $2990$ livres à ranger.

1. Combien d'étagères au minimum faut-il commander pour ranger tous les livres ? Justifier.
2. Quel est alors le coût total de cette commande d'étagères ?
3. Le fournisseur propose une remise de $12\%$ pour toute commande d'au moins $20$ étagères. La médiathèque commande exactement $23$ étagères. Calculer le montant payé après remise.
4. L'an dernier, la médiathèque comptait $2600$ livres. Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de livres entre l'an dernier et cette année.

Exercice 3 (14 points)

Un cycliste participe à une randonnée entre deux villages reliés par une piste de $36$ km. Il part du village de Roche à $9$ h.

1. Sur la première partie du parcours, le cycliste roule à la vitesse moyenne de $24$ km/h pendant $45$ minutes. Quelle distance a-t-il parcourue durant ces $45$ minutes ?
2. Il s'arrête $15$ minutes pour se reposer, puis termine les kilomètres restants à la vitesse moyenne de $18$ km/h. Calculer la durée de cette dernière partie, en heures et minutes.
3. À quelle heure le cycliste arrive-t-il au village d'arrivée, en tenant compte de la pause ?
4. Un coureur à pied effectue le même trajet de $36$ km en $3$ h $20$ min. Calculer sa vitesse moyenne, en km/h.

Exercice 4 (14 points)

Dans un club d'astronomie, on a relevé le nombre d'étoiles filantes observées par chacun des $11$ membres pendant une nuit des Perséides. Voici la série :

$812514129122071216$

1. Calculer le nombre moyen d'étoiles filantes observées par membre. Arrondir à $0,1$.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte.
3. Déterminer l'étendue et le mode de la série.

Pour une tombola, on place dans une urne $11$ jetons, chacun portant le prénom d'un membre. Parmi ces $11$ membres, $5$ ont observé au moins $12$ étoiles filantes. On tire un jeton au hasard.

4. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le prénom d'un membre ayant observé au moins $12$ étoiles filantes ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
5. Quelle est la probabilité que ce membre ait observé strictement moins de $12$ étoiles filantes ?

Exercice 5 (12 points)

Une salle d'escalade propose deux formules d'abonnement pour la saison.

• Formule Liberté : $9$ € par séance, sans abonnement.
• Formule Passion : un abonnement de $60$ € pour la saison, puis $4$ € par séance.

On note $x$ le nombre de séances effectuées dans la saison.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule Liberté, puis le prix $g(x)$ payé avec la formule Passion.
2. Calculer le prix de chaque formule pour $10$ séances.
3. Parmi $f$ et $g$, indiquer laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
4. Résoudre l'équation $9x=60+4x$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Un grimpeur prévoit de venir $18$ fois dans la saison. Quelle formule a-t-il intérêt à choisir ? Justifier.

Exercice 6 (16 points)

Pour décorer le hall d'un gymnase, on installe un mât porte-drapeau maintenu par un câble tendu. Le mât $[BS]$ est vertical et planté au sol au point $B$. Le câble relie le sommet $S$ du mât à un piquet $A$ planté au sol. Le triangle $SBA$ est rectangle en $B$.

[Figure : triangle SBA rectangle en B ; BS (mât vertical) = 6 m ; BA (distance au sol entre le pied du mât et le piquet) = 2,5 m ; SA est le câble, hypoténuse.]

1. Calculer la longueur $SA$ du câble.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{SAB}$ que fait le câble avec le sol, arrondie au degré près.

Sur le câble $[SA]$, on accroche un petit fanion au point $N$, et on relie ce fanion horizontalement au mât en un point $M$ du segment $[BS]$. La droite $(MN)$ est parallèle au sol $(BA)$, avec $M\in [BS]$ et $N\in [SA]$. On donne $SM=4,5$ m.

[Figure : segment MN parallèle à BA ; M sur [BS], N sur [SA] ; SM = 4,5 m mesuré depuis le sommet S.]

3. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$.

Exercice 7 (8 points)

Un confiseur fabrique des chocolats en forme de boule. Une boule de chocolat a un rayon de $1,5$ cm. On rappelle que le volume d'une boule de rayon $R$ est $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

1. Montrer que le volume d'une boule de chocolat est environ égal à $14,1$ cm${}^3$. Arrondir à $0,1$ cm${}^3$.
2. Le chocolat fondu a une masse volumique de $1,3$ g/cm${}^3$. Calculer la masse de chocolat d'une boule. Arrondir au gramme.

Pour une fête, le confiseur réalise une boule géante, agrandissement de la boule précédente dans le rapport $k=4$.

3. Quel est le rayon de la boule géante ?
4. Par combien le volume de la boule est-il multiplié lorsqu'on agrandit dans le rapport $k=4$ ? En déduire le volume de la boule géante, arrondi à $1$ cm${}^3$.

Exercice 8 (8 points)

On considère le programme de calcul suivant, écrit pour un logiciel de type Scratch.

[Programme (type Scratch) :]

• Demander un nombre et le stocker dans la variable n.
• Mettre resultat à $(n+3)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}\times n)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}-10)$.
• Dire la valeur de resultat.

1. On choisit $n=5$. Quelle valeur le lutin affiche-t-il à la fin ? Détailler les étapes.
2. On choisit $n=-3$. Quelle valeur est affichée ?
3. Pour un nombre $n$ quelconque, écrire en fonction de $n$ l'expression donnant le résultat affiché, sous forme développée et réduite.
4. Montrer que choisir $n=2$ donne le même résultat affiché que choisir $n=-5$.