Brevet blanc de maths n°7 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°7

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (14 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\times \frac{5}{6}$ est égal à :
   a. $\frac{1}{3}$    b. $\frac{7}{12}$    c. $\frac{5}{24}$
2. Le PGCD de $126$ et $196$ est :
   a. $7$    b. $14$    c. $28$
3. L'écriture scientifique de $0,0000036$ est :
   a. $36\times 10^{-7}$    b. $3,6\times 10^6$    c. $3,6\times 10^{-6}$
4. On développe et réduit $(2x+5{)}^2$. On obtient :
   a. $4x^2+25$    b. $4x^2+20x+25$    c. $2x^2+20x+25$
5. La solution de l'équation $7x-4=3x+12$ est :
   a. $x=4$    b. $x=2$    c. $x=8$
6. Le nombre $\frac{5^3\times 5^2}{5^4}$ est égal à :
   a. $5$    b. $25$    c. $1$

Exercice 2 (15 points)

Pour une fête de fin d'année, un animateur prépare des sachets de friandises. Il dispose de $126$ chocolats et de $196$ caramels. Il souhaite réaliser des sachets identiques, c'est-à-dire contenant tous le même nombre de chocolats et tous le même nombre de caramels, en utilisant la totalité des friandises.

1. Décomposer $126$ et $196$ en produit de facteurs premiers.
2. En déduire le plus grand nombre de sachets identiques que l'animateur peut réaliser. Justifier.
3. Pour ce nombre maximal de sachets, indiquer combien de chocolats et combien de caramels contient chaque sachet.
4. L'animateur affirme : « Je pourrais aussi faire exactement $28$ sachets identiques en utilisant toutes les friandises. » A-t-il raison ? Justifier.

Exercice 3 (15 points)

Un disquaire vend des disques vinyles. Un disque de collection était affiché à $18,50$ € l'an dernier.

1. Cette année, son prix a augmenté de $20\%$. Calculer le nouveau prix de ce disque.
2. Le disquaire propose une offre : « le deuxième disque acheté à $-50\%$ ». Un client achète deux exemplaires de ce disque (au prix de cette année). Calculer la somme totale qu'il paie.
3. Sur un autre modèle, le disquaire annonce $-30\%$ : le disque est alors vendu $14,70$ €. Quel était son prix avant la réduction ?
4. Le disquaire constate que sur $250$ clients, $35$ ont profité de l'offre « deuxième disque à $-50\%$ ». Quel pourcentage des clients cela représente-t-il ?

Exercice 4 (16 points)

Un club de natation relève le nombre de longueurs de bassin effectuées par $10$ nageurs lors d'une séance. Voici la série :

$14918119162191315$

1. Calculer le nombre moyen de longueurs effectuées par nageur.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte.
3. Déterminer l'étendue de la série, puis le mode.

L'entraîneur inscrit sur une carte le nom de chacun des $10$ nageurs et place les $10$ cartes dans une boîte. Il tire une carte au hasard. On considère qu'un nageur est « performant » s'il a effectué au moins $15$ longueurs.

4. Combien de nageurs sont « performants » ?
5. Quelle est la probabilité que la carte tirée porte le nom d'un nageur « performant » ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

Exercice 5 (14 points)

Une salle d'escalade propose deux formules pour accéder aux séances.

• Formule A : $9$ € par séance, sans abonnement.
• Formule B : un abonnement annuel de $20$ € auquel s'ajoute $5$ € par séance.

On note $x$ le nombre de séances effectuées dans l'année.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule A, puis le prix $g(x)$ payé avec la formule B.
2. Calculer le prix de chaque formule pour $8$ séances.
3. Parmi $f$ et $g$, indiquer laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
4. Résoudre l'équation $9x=5x+20$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Un grimpeur prévoit de faire $8$ séances dans l'année. Quelle formule a-t-il intérêt à choisir ? Justifier.

Exercice 6 (18 points)

Partie A. On considère un toboggan modélisé par un triangle $ABC$ rectangle en $B$. Le côté $[AB]$ représente le mât vertical et $[BC]$ la base horizontale.

[Figure : triangle ABC rectangle en B ; AB = 2,8 m (mât vertical) ; BC = 2,1 m (base horizontale) ; [AC] est la glissière, hypoténuse.]

1. Calculer la longueur $AC$ de la glissière.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré près.
3. Un point $M$ est placé sur $[AB]$ tel que $AM=1,6$ m, et un point $N$ sur $[AC]$ de sorte que la droite $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$.

Partie B. À côté du toboggan, on installe un réservoir d'eau ayant la forme d'un cône de révolution de rayon $3$ m et de hauteur $8$ m.

[Figure : cône de révolution ; rayon de la base = 3 m ; hauteur = 8 m.]

4. Calculer le volume de ce cône. On donnera la valeur exacte en fonction de $\pi$, puis une valeur arrondie au ${\text{m}}^3$ près. (On rappelle : $V=\frac{1}{3}\times \pi \times r^2\times h$.)
5. On fabrique un modèle réduit de ce cône à l'échelle $\frac{1}{2}$. Quel est le volume du modèle réduit ? Donner la valeur arrondie au ${\text{m}}^3$ près.

Exercice 7 (8 points)

On considère le programme de calcul suivant, écrit pour un logiciel de type Scratch.

[Programme (type Scratch) :]

• Demander un nombre et le stocker dans la variable n.
• Mettre résultat à la valeur de n.
• Répéter $2$ fois :
  • Mettre résultat à $(\text{reˊsultat}\times 3)$.
• Mettre résultat à $(\text{reˊsultat}-4)$.
• Dire la valeur de résultat.

1. On choisit $n=2$. Quelle valeur le lutin affiche-t-il à la fin ? Détailler les étapes.
2. On choisit $n=5$. Quelle valeur est affichée ?
3. Pour un nombre $n$ quelconque, écrire en fonction de $n$ l'expression donnant le résultat affiché, sous forme réduite.
4. Pour quelle valeur de $n$ le programme affiche-t-il $50$ ?