Brevet blanc de maths n°6 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques — Lumaths

Durée : 2 heures — 100 points

L'usage de la calculatrice est autorisé. Le soin, la rédaction et la clarté des raisonnements seront pris en compte (5 points). Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix.

Exercice 1 (10 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est attendue. Une réponse fausse ne retire pas de point.

1. La forme développée et réduite de l'expression $(2x-3{)}^2$ est :

a) $4x^2-9$    b) $4x^2-12x+9$    c) $2x^2-12x+9$

2. Le PGCD de $84$ et $126$ est égal à :

a) $14$    b) $21$    c) $42$

3. On lance un dé équilibré à six faces. La probabilité d'obtenir un nombre premier est :

a) $\frac{1}{2}$    b) $\frac{1}{3}$    c) $\frac{2}{3}$

4. Une grandeur passe de $80$ à $100$. Le pourcentage d'augmentation est :

a) $20\%$    b) $25\%$    c) $80\%$

5. L'expression $\frac{10^{-3}\times 10^5}{10^{-1}}$ est égale à :

a) $10^1$    b) $10^3$    c) $10^7$

Exercice 2 (16 points)

Une coopérative agricole produit du miel qu'elle conditionne dans des pots. Pour la nouvelle saison, elle achète $3250$ pots vides. Les pots sont vendus par cartons de $24$ unités.

1. Combien de cartons complets de $24$ pots la coopérative peut-elle remplir ? Combien de pots resteront en surplus ?

2. Chaque pot rempli pèse $375$ g. On souhaite charger une palette qui peut supporter au maximum $300$ kg de pots. Combien de pots, au maximum, peut-on placer sur une palette ?

3. Le miel est vendu $7,50$ € le pot. La coopérative offre une remise de $12\%$ pour tout achat d'au moins $10$ pots.

a) Calculer le prix payé par un client qui achète $10$ pots avec la remise.

b) Un restaurateur dispose d'un budget de $200$ €. Quel est le nombre maximal de pots qu'il peut acheter en bénéficiant de la remise ?

Exercice 3 (16 points)

Un groupe de randonneurs analyse le dénivelé (en mètres) gravi chaque jour pendant une traversée de $9$ jours. Voici les valeurs relevées, classées dans l'ordre croissant :

$420480510540600650720850980$

1. Calculer le dénivelé moyen par jour de cette traversée.

2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter ce résultat dans le contexte.

3. Calculer l'étendue de la série.

4. Sur l'ensemble de la traversée, le dénivelé total gravi est-il supérieur à $5$ km ? Justifier.

5. Un guide affirme : « Au moins un jour sur deux, le dénivelé a dépassé $600$ m. » A-t-il raison ? Justifier à l'aide d'une fréquence.

Exercice 4 (14 points)

Un service de location de vélos électriques propose deux formules pour une journée :

• Formule A : $4$ € de frais fixes, puis $0,50$ € par kilomètre parcouru.
• Formule B : un tarif unique de $0,90$ € par kilomètre parcouru, sans frais fixes.

On note $x$ le nombre de kilomètres parcourus en une journée.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule A et le prix $g(x)$ payé avec la formule B.

2. Un client parcourt $15$ km. Quelle formule est la plus avantageuse ? Justifier par un calcul.

3. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ et interpréter le résultat.

4. À partir de combien de kilomètres la formule A devient-elle plus avantageuse que la formule B ?

Exercice 5 (16 points)

Un éclairagiste installe un projecteur en haut d'un mât vertical pour éclairer une scène de spectacle en plein air.

[Figure : un triangle rectangle $ABC$ rectangle en $A$. Le segment $[AB]$ est vertical et représente le mât, de hauteur $AB=6$ m. Le segment $[AC]$ est horizontal au sol, avec $AC=8$ m. Le point $C$ est le centre de la scène. Le faisceau lumineux va du sommet $B$ jusqu'au point $C$.]

1. Calculer la longueur $BC$ du faisceau lumineux.

2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BCA}$ que fait le faisceau avec le sol. Arrondir au degré.

3. Sur le mât, à $4,5$ m du sol (point $D$ du segment $[AB]$), on fixe un second projecteur. À partir de $D$, une corde de sécurité est tendue jusqu'à un piquet $E$ planté sur le sol, sur la droite $(AC)$, tel que les droites $(DE)$ et $(BC)$ soient parallèles.

En utilisant le théorème de Thalès, calculer la distance $AE$ entre le pied du mât et le piquet.

Exercice 6 (14 points)

Une entreprise fabrique des bougies. Le modèle « Phare » est un solide formé d'un cylindre surmonté d'un cône, comme un petit phare.

[Figure : un cylindre droit de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm, surmonté exactement d'un cône de même rayon $3$ cm et de hauteur $4$ cm. L'ensemble forme la bougie « Phare ».]

On rappelle : volume d'un cylindre $=\pi \times r^2\times h$ ; volume d'un cône $=\frac{1}{3}\times \pi \times r^2\times h$.

1. Calculer le volume du cylindre. Donner la valeur arrondie au cm³.

2. Calculer le volume du cône. Donner la valeur arrondie au cm³.

3. En déduire le volume total de la bougie, arrondi au cm³.

4. La cire utilisée a une masse volumique de $0,9$ g/cm³. Calculer la masse de cire nécessaire pour une bougie, arrondie au gramme.

Exercice 7 (9 points)

On considère le programme Scratch ci-dessous, qui dessine une figure. La tortue part de la position initiale, orientée vers la droite (vers l'est).

[Figure : programme Scratch.]

quand le drapeau vert est cliqué
aller à x: 0 y: 0
répéter 4 fois
   avancer de 80 pas
   tourner de 90 degrés (sens horaire)
fin

1. Quelle figure géométrique ce programme dessine-t-il ? Préciser ses dimensions.

2. Calculer le périmètre de la figure obtenue.

3. On remplace l'instruction « répéter 4 fois » par « répéter 3 fois » et « tourner de 90 degrés » par « tourner de 120 degrés ». Quelle figure obtient-on alors ? Justifier.