Brevet blanc de maths n°5 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°5

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (14 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\times \frac{4}{5}$ est égal à :
   a. $\frac{1}{5}$    b. $\frac{2}{5}$    c. $\frac{7}{25}$
2. Le PGCD de $126$ et $90$ est :
   a. $9$    b. $18$    c. $6$
3. Le nombre $\frac{10^5\times 10^{-2}}{10^4}$ est égal à :
   a. $10^{-1}$    b. $10^3$    c. $10^7$
4. On factorise l'expression $9x^2-25$. On obtient :
   a. $(3x-5{)}^2$    b. $(3x-5)(3x+5)$    c. $(9x-25)(x+1)$
5. La solution de l'équation $4x+9=7x-6$ est :
   a. $x=5$    b. $x=-5$    c. $x=1$
6. Un article coûtant $80$ € subit une hausse de $15\%$. Son nouveau prix est :
   a. $95$ €    b. $92$ €    c. $68$ €
7. Une bille de glace fond et son volume diminue de $20\%$. Le coefficient multiplicateur associé est :
   a. $0,8$    b. $1,2$    c. $0,2$

Exercice 2 (15 points)

Une association de course à pied organise une sortie hebdomadaire. Lors d'une séance, le coureur Yanis parcourt une distance de $12$ km en $54$ minutes à allure régulière.

1. Calculer la vitesse moyenne de Yanis en kilomètres par heure (km/h). On donnera une valeur arrondie au dixième.
2. Sa partenaire Léa court à une vitesse moyenne de $14$ km/h. Combien de temps, en minutes, lui faut-il pour parcourir les mêmes $12$ km ?
3. Pour préparer un semi-marathon ($21,1$ km), Léa souhaite tenir une allure de $5$ min par kilomètre. Quelle serait alors sa vitesse moyenne, en km/h ?
4. L'association compte $240$ adhérents. Parmi eux, $45\%$ sont des femmes. De plus, $30\%$ des adhérents pratiquent le trail. Calculer le nombre de femmes adhérentes, puis le nombre d'adhérents pratiquant le trail.

Exercice 3 (16 points)

Dans le cadre d'un projet sur l'environnement, une classe a relevé pendant $11$ jours la quantité de déchets recyclables collectés (en kilogrammes) dans la cantine du collège :

$812915119141291610$

1. Calculer la moyenne de cette série statistique. On donnera une valeur arrondie au dixième.
2. Déterminer l'étendue de la série.
3. Ranger les valeurs dans l'ordre croissant, puis déterminer la médiane de la série. Interpréter ce résultat dans le contexte.
4. Pour récompenser la classe, le collège place dans une urne $5$ jetons verts, $3$ jetons bleus et $4$ jetons rouges, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard.
   • a. Quelle est la probabilité de tirer un jeton vert ?
   • b. Quelle est la probabilité de tirer un jeton qui ne soit pas rouge ?

Exercice 4 (15 points)

Un voyagiste propose deux formules pour des excursions en kayak.

• Formule A : un tarif de $9$ € par excursion, sans abonnement.
• Formule B : un abonnement annuel de $40$ € puis $5$ € par excursion.

On note $x$ le nombre d'excursions effectuées dans l'année.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix payé avec la formule A, noté $f(x)$, puis le prix payé avec la formule B, noté $g(x)$.
2. Indiquer, parmi $f$ et $g$, laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
3. Calculer $f(6)$ et $g(6)$. Pour $6$ excursions, quelle formule est la plus avantageuse ?
4. Résoudre l'équation $9x=40+5x$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Un client prévoit de faire $15$ excursions dans l'année. Quelle formule doit-il choisir ? Justifier par un calcul.

Exercice 5 (15 points)

Pour sécuriser une via ferrata en montagne, on installe un câble tendu entre deux points d'ancrage. La figure ci-dessous représente la situation (les longueurs sont en mètres et ne sont pas à l'échelle).

[Figure : triangle $ABC$ rectangle en $B$ ; $AB=6$ m (paroi verticale) ; $BC=8$ m (base horizontale) ; le câble relie $A$ à $C$ (l'hypoténuse).]

1. Montrer que la longueur $AC$ du câble est égale à $10$ m.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$. On donnera une valeur arrondie au degré.
3. Sur le segment $[AC]$, un point relais $M$ est placé de telle sorte que $CM=4$ m, et un point $N$ est placé sur $[BC]$. On sait que les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles.

   [Figure : $M$ sur $[CA]$ avec $CM=4$ m, $N$ sur $[CB]$, et $(MN)$ parallèle à $(AB)$.]

   En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$.

Exercice 6 (15 points)

Une entreprise de boissons commercialise du jus de fruits bio. Le sirop est d'abord stocké dans une cuve cylindrique, puis conditionné.

1. La cuve est un cylindre de révolution de rayon $50$ cm et de hauteur $120$ cm. Calculer son volume en ${\mathrm{cm}}^3$. On donnera une valeur arrondie à l'unité (on prendra $\pi \approx 3,14$).
2. Vérifier que ce volume correspond à environ $942$ litres (on rappelle que $1$ L $=1000{\mathrm{cm}}^3$).
3. Le jus est aussi présenté dans des bouteilles ayant la forme d'un cône de révolution de rayon $3$ cm et de hauteur $20$ cm. Calculer le volume d'une bouteille en ${\mathrm{cm}}^3$, arrondi à l'unité. (Rappel : volume d'un cône $=\frac{1}{3}\times \pi \times r^2\times h$.)
4. Pour une édition collector, on fabrique une bouteille agrandissement de la précédente : toutes les longueurs sont multipliées par $2$. Par quel nombre le volume de la bouteille est-il alors multiplié ? Justifier.

Exercice 7 (10 points)

Dans le cadre d'un atelier de programmation, Inès écrit un programme de calcul, présenté ci-dessous sous la forme d'un script de type Scratch décrit en texte.

[Figure : script — bloc « quand le drapeau vert est cliqué » ; « demander un nombre et attendre » ; « mettre $x$ à (réponse) » ; « mettre $x$ à ($x\times 3$) » ; « mettre $x$ à ($x+4$) » ; « mettre $x$ à ($x\times 2$) » ; « dire ($x$) ».]

Autrement dit, le programme :

• demande un nombre de départ ;
• multiplie ce nombre par $3$ ;
• ajoute $4$ au résultat ;
• multiplie le tout par $2$ ;
• affiche le résultat final.

1. Inès choisit le nombre de départ $5$. Montrer que le programme affiche $38$.
2. Quel résultat le programme affiche-t-il si le nombre de départ est $-2$ ?
3. On note $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat affiché par le programme, puis développer et réduire cette expression.
4. Théo affirme : « Pour obtenir $0$ à l'affichage, il faut entrer un nombre de départ non entier. » A-t-il raison ? Justifier.