Brevet blanc de maths n°4 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°4

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (15 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\times \frac{4}{5}$ est égal à :
   a. $\frac{13}{15}$    b. $\frac{4}{5}$    c. $\frac{11}{15}$
2. Le PGCD de $84$ et $360$ est :
   a. $6$    b. $12$    c. $24$
3. L'écriture scientifique de $0,00000045$ est :
   a. $4,5\times 10^{-7}$    b. $45\times 10^{-8}$    c. $4,5\times 10^7$
4. On développe et réduit $(x-3{)}^2$. On obtient :
   a. $x^2-9$    b. $x^2-6x+9$    c. $x^2+9$
5. La solution de l'équation $5x-7=2x+8$ est :
   a. $x=5$    b. $x=3$    c. $x=\frac{1}{3}$

Exercice 2 (16 points)

Une coopérative agricole de la région presse des pommes pour produire du jus. Voici les informations sur la récolte de l'année.

• La coopérative a récolté $7,5$ tonnes de pommes.
• Il faut $1,3$ kg de pommes pour obtenir $1$ litre de jus.
• Le jus est conditionné dans des bouteilles de $75$ cL.

1. Montrer que la récolte permet d'obtenir environ $5769$ litres de jus. (On arrondira à l'unité.)
2. Combien de bouteilles de $75$ cL peut-on remplir entièrement avec $5769$ litres de jus ?
3. Une bouteille est vendue $3,20$ €. La coopérative accorde une remise de $15\%$ pour tout achat d'au moins $12$ bouteilles. Calculer le prix payé par un client qui achète exactement $12$ bouteilles avec cette remise.
4. L'an dernier, la récolte était de $6$ tonnes. Calculer le pourcentage d'augmentation de la masse de pommes récoltées entre l'an dernier et cette année. Arrondir à $0,1\%$.

Exercice 3 (15 points)

Lors d'une sortie scolaire, un car part de la ville A à $8$ h pour rejoindre la ville B distante de $210$ km. Le car roule à une vitesse moyenne de $84$ km/h.

1. Calculer la durée du trajet du car. Donner le résultat en heures et minutes.
2. À quelle heure le car arrive-t-il à la ville B (sans tenir compte des pauses) ?
3. En réalité, le chauffeur fait une pause de $20$ minutes à mi-parcours. À quelle heure arrive-t-il finalement à la ville B ?
4. Sur l'autoroute, une voiture parcourt $156$ km en $1$ h $30$ min. Cette voiture roule-t-elle plus vite que le car ? Justifier en comparant les deux vitesses moyennes.

Exercice 4 (16 points)

Un professeur de sport relève le nombre de pas effectués chaque jour par un groupe de $9$ élèves lors d'une journée de randonnée. Voici la série, en milliers de pas :

$17159181521121523$

1. Calculer le nombre moyen de milliers de pas effectués par élève. Arrondir à $0,1$.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte.
3. Déterminer l'étendue de la série.
4. Quel est le mode de cette série ?

Pour récompenser les élèves, le professeur place dans un sac $9$ jetons, chacun portant le prénom d'un élève. Parmi ces $9$ élèves, $4$ ont dépassé $15000$ pas (strictement). Il tire un jeton au hasard.

5. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le prénom d'un élève ayant dépassé $15000$ pas ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

Exercice 5 (14 points)

Une entreprise de location de vélos électriques propose deux formules de tarif pour la journée.

• Formule A : $2$ € par heure de location.
• Formule B : un forfait fixe de $6$ € auquel s'ajoute $0,80$ € par heure.

On note $x$ le nombre d'heures de location.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule A, puis le prix $g(x)$ payé avec la formule B.
2. Calculer le prix de chaque formule pour une location de $4$ heures.
3. Parmi $f$ et $g$, indiquer laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
4. Résoudre l'équation $2x=6+0,8x$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Un client prévoit de louer un vélo pendant $7$ heures. Quelle formule a-t-il intérêt à choisir ? Justifier.

Exercice 6 (16 points)

Sur un terrain, on étudie un toboggan. On modélise la situation par la figure ci-dessous. Le point $S$ est le sommet du toboggan, $H$ le pied de la structure (à la verticale de $S$) et $A$ le point d'arrivée au sol. Le triangle $SHA$ est rectangle en $H$.

[Figure : triangle SHA rectangle en H ; SH (hauteur verticale) = 2,4 m ; HA (distance au sol) = 3,2 m ; SA est la glissière du toboggan, hypoténuse.]

1. Calculer la longueur $SA$ de la glissière du toboggan.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{SAH}$, arrondie au degré près.

On installe une barre de sécurité $[MN]$ parallèle au sol $[HA]$, avec $M$ sur le segment $[SH]$ et $N$ sur le segment $[SA]$. On donne $SM=0,9$ m.

[Figure : barre MN parallèle à HA ; M sur [SH], N sur [SA] ; SM = 0,9 m.]

3. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$ de la barre de sécurité.

Exercice 7 (8 points)

On considère le programme de calcul suivant, écrit pour un logiciel de type Scratch. Le lutin part de la position initiale et exécute le script.

[Programme (type Scratch) :]

• Demander un nombre et le stocker dans la variable n.
• Mettre résultat à la valeur de n.
• Répéter $3$ fois :
  • Mettre résultat à $(\text{reˊsultat}\times 2)$.
• Mettre résultat à $(\text{reˊsultat}+5)$.
• Dire la valeur de résultat.

1. On choisit $n=4$. Quelle valeur le lutin affiche-t-il à la fin ? Détailler les étapes.
2. On choisit $n=0$. Quelle valeur est affichée ?
3. Pour un nombre $n$ quelconque, écrire en fonction de $n$ l'expression donnant le résultat affiché, sous forme réduite.
4. Pour quelle valeur de $n$ le programme affiche-t-il $69$ ?