Brevet blanc de maths n°3 — sujet et corrigé

Durée : 2 h — Noté sur 100 points. L'usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses doivent être justifiées. Le soin, la rédaction et la qualité du raisonnement sont pris en compte (5 points). Les six exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix.

Exercice 1 — Nombres et calculs (18 points)

1. Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible :

$A=\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}$

2. Donner l'écriture scientifique du nombre :

$B=\frac{12\times 10^{-3}\times 5\times 10^6}{4\times 10^2}$

3. On considère l'expression $E=(3x-2{)}^2-(3x-2)(x+5)$.

a. Développer et réduire $E$.

b. Factoriser $E$.

c. Calculer la valeur de $E$ pour $x=2$.

4. Pour préparer un atelier, un animateur dispose de 84 feutres et 126 crayons. Il veut constituer des pochettes identiques en utilisant tous les feutres et tous les crayons.

a. Quel est le nombre maximal de pochettes qu'il peut réaliser ? (On déterminera le PGCD de $84$ et $126$.)

b. Combien de feutres et combien de crayons y aura-t-il dans chaque pochette ?

Exercice 2 — Proportionnalité et pourcentages (14 points)

Un commerçant vend du café en vrac. Le prix est proportionnel à la masse achetée. Pour $250$ g de café, un client paie $4,50$ €.

1. Calculer le prix de $1$ kg de café.

2. Un client paie $9,90$ €. Quelle masse de café a-t-il achetée ?

3. Pour les fêtes, le commerçant augmente le prix au kilogramme de $20\%$. Calculer le nouveau prix de $1$ kg.

4. Après les fêtes, il applique une réduction de $20\%$ sur ce prix augmenté. Le prix revient-il à sa valeur initiale ? Justifier par un calcul.

Exercice 3 — Statistiques et probabilités (16 points)

Lors d'un contrôle, un professeur relève les notes (sur $20$) obtenues par les $25$ élèves d'une classe. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

[Figure : tableau à deux lignes. Première ligne « Note » : 8, 10, 12, 14, 16. Deuxième ligne « Effectif » : 3, 6, 8, 5, 3.]

1. Vérifier que l'effectif total est bien $25$.

2. Calculer la note moyenne de la classe (arrondir au dixième).

3. Déterminer la note médiane de cette série. Interpréter ce résultat dans le contexte.

4. On choisit au hasard la copie d'un élève de la classe ; chaque copie a la même probabilité d'être choisie.

a. Quelle est la probabilité que la note de cette copie soit égale à $12$ ?

b. Quelle est la probabilité que la note soit supérieure ou égale à $14$ ?

Exercice 4 — Géométrie : Thalès, Pythagore, trigonométrie (20 points)

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.

[Figure : triangle ABC rectangle en A. Le point M est sur le segment [AB] et le point N sur le segment [AC] ; la droite (MN) est parallèle à (BC). On donne AM = 4,5 cm.]

1. Calculer la longueur $BC$.

2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.

3. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés ainsi que $A$, $N$, $C$, et la droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$. En utilisant le théorème de Thalès, calculer les longueurs $AN$ et $MN$.

Exercice 5 — Fonctions (16 points)

Une entreprise loue des vélos électriques. Elle propose deux formules pour une journée :

• Formule A : $5$ € de frais fixes, puis $2$ € par heure de location.
• Formule B : $4$ € par heure de location, sans frais fixes.

On note $x$ le nombre d'heures de location ($x\ge 0$).

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule A et le prix $g(x)$ payé avec la formule B.

2. Calculer $f(3)$ et $g(3)$. Quelle formule est la plus avantageuse pour une location de $3$ heures ?

3. Parmi les fonctions $f$ et $g$, laquelle est une fonction linéaire ? Justifier.

4. Déterminer, par le calcul, le nombre d'heures pour lequel les deux formules coûtent le même prix.

5. Un client prévoit de louer un vélo pendant $5$ heures. Quelle formule doit-il choisir ? Justifier.

Exercice 6 — Espace, volumes et algorithmique (11 points)

Partie A — Volume

Un récipient a la forme d'un cylindre de révolution de rayon $5$ cm et de hauteur $20$ cm. On rappelle que le volume d'un cylindre est $V=\pi \times r^2\times h$.

1. Calculer le volume du cylindre. On donnera la valeur arrondie au cm${}^3$ (on prendra $\pi \approx 3,14$).

2. On verse dans ce récipient une boule de rayon $3$ cm. Le volume d'une boule est $V=\frac{4}{3}\times \pi \times r^3$. Calculer le volume de cette boule, arrondi au cm${}^3$.

Partie B — Algorithmique (programme de type Scratch)

On considère le programme suivant, décrit en français. La variable n contient un nombre entier saisi par l'utilisateur.

[Figure : script Scratch.]

• demander « Choisis un nombre » et mettre la réponse dans n
• mettre n à : n $\times 3$
• mettre n à : n $+6$
• mettre n à : n $÷3$
• mettre n à : n $-2$
• dire n

1. On choisit le nombre de départ $4$. Quel nombre le programme affiche-t-il à la fin ?

2. On choisit le nombre de départ $10$. Quel nombre le programme affiche-t-il ?

3. Émile affirme : « Quel que soit le nombre choisi au départ, le programme affiche toujours le nombre de départ. » A-t-il raison ? Justifier à l'aide du calcul littéral en notant $n$ le nombre de départ.

Présentation et rédaction (5 points)

$5$ points sont attribués à la qualité de la rédaction, à la cohérence des justifications et au soin apporté à la copie.