Brevet blanc de maths n°2 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°2

Durée : 2 heures — 100 points

Les sept exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. L'usage de la calculatrice est autorisé. La qualité de la rédaction et le soin apporté aux justifications seront pris en compte.

Exercice 1 — Nombres et calculs (16 points)

Un club de course à pied prépare un ravitaillement.

1. On considère l'expression numérique :

$A=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\times \frac{7}{4}$.

Calculer $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. (3 points)

2. Calculer et donner le résultat sous la forme $a\times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal et $n$ un entier relatif :

$B=\frac{6\times 10^{-3}\times 5\times 10^8}{2\times 10^4}$. (3 points)

3. On donne le programme de calcul littéral $C=(2x-3)(x+4)-2x^2$.

a. Développer et réduire l'expression $C$. (3 points)

b. En déduire la valeur de $C$ pour $x=-2$. (2 points)

4. Le club veut répartir 156 barres de céréales et 120 bouteilles d'eau dans des sacs identiques, en utilisant la totalité des produits, chaque sac contenant le même nombre de barres et le même nombre de bouteilles.

a. Quel est le nombre maximal de sacs que l'on peut préparer ? Justifier. (3 points)

b. Dans ce cas, combien de barres et combien de bouteilles contient chaque sac ? (2 points)

Exercice 2 — Proportionnalité et pourcentages (14 points)

Une cantine scolaire cherche à réduire le gaspillage alimentaire.

1. En janvier, la cantine a jeté $240$ kg de nourriture. En février, la masse jetée n'est plus que de $186$ kg. Calculer le pourcentage de diminution de la masse jetée entre janvier et février. (3 points)

2. Une recette de soupe pour $8$ personnes nécessite $600$ g de courge. La quantité de courge est proportionnelle au nombre de personnes.

a. Quelle masse de courge faut-il pour $30$ personnes ? (3 points)

b. Le cuisinier dispose de $1,5$ kg de courge. Pour combien de personnes au maximum peut-il préparer la soupe ? (3 points)

3. Le prix d'un repas est de $4,50$ €. La mairie décide d'augmenter ce prix de $6\%$, puis, le mois suivant, de le baisser de $5\%$ par rapport au nouveau prix. Quel est le prix final d'un repas ? Arrondir au centime. (5 points)

Exercice 3 — Statistiques et probabilités (15 points)

Lors d'un festival de jeux de société, on relève le nombre de parties jouées par chacun des $11$ premiers participants :

$$4739671257810$$

1. Calculer la moyenne du nombre de parties jouées. (3 points)

2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte. (3 points)

3. Déterminer l'étendue de la série. (2 points)

4. Un stand propose une roue divisée en $8$ secteurs identiques : $3$ rouges, $4$ bleus et $1$ jaune. On fait tourner la roue ; chaque secteur a la même probabilité d'être obtenu.

a. Quelle est la probabilité d'obtenir un secteur bleu ? (2 points)

b. Quelle est la probabilité d'obtenir un secteur qui n'est pas rouge ? (2 points)

c. Le joueur gagne un lot s'il obtient le secteur jaune. Cet événement est-il probable, peu probable ou impossible ? Justifier. (3 points)

Exercice 4 — Fonctions affines (15 points)

Une association de protection de l'environnement propose la location de vélos électriques. Deux formules sont disponibles.

• Formule A : $2$ € par heure de location, sans frais d'inscription.
• Formule B : un abonnement de $9$ € puis $0,50$ € par heure de location.

On note $x$ le nombre d'heures de location.

1. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=2x$ et $g(x)=0,5x+9$.

Associer chaque formule à la fonction qui modélise le prix à payer. (2 points)

2. Calculer $f(10)$ et $g(10)$. Pour une location de $10$ heures, quelle formule est la plus avantageuse ? (4 points)

3. Parmi ces deux fonctions, laquelle est une fonction linéaire ? Justifier. (2 points)

4. Résoudre l'équation $2x=0,5x+9$. (4 points)

5. Interpréter le résultat de la question 4 dans le contexte des deux formules. (3 points)

Exercice 5 — Géométrie (16 points)

Un skateur construit une rampe. On modélise la situation par la figure ci-dessous.

[Figure : triangle rectangle $ABC$ rectangle en $B$, avec $AB=1,2$ m (hauteur verticale) et $BC=1,6$ m (longueur horizontale au sol) ; l'hypoténuse $AC$ représente la pente de la rampe.]

1. Montrer que la longueur de la pente $AC$ est égale à $2$ m. (4 points)

2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ que fait la rampe avec le sol. Arrondir au degré. (4 points)

3. On place un point $M$ sur $[BC]$ et un point $N$ sur $[AC]$ tels que $(MN)$ soit parallèle à $(AB)$. On donne $CM=1,2$ m.

[Figure : sur le triangle $ABC$, le point $M$ est sur $[BC]$ et le point $N$ sur $[AC]$, et $(MN)\parallel (AB)$.]

En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$. (5 points)

4. Les triangles $CMN$ et $CBA$ sont-ils en situation d'agrandissement-réduction ? Préciser le coefficient. (3 points)

Exercice 6 — Volumes et agrandissement (12 points)

Un chocolatier fabrique des bonbons en forme de cône.

[Figure : un cône de révolution de rayon de base $r=1,5$ cm et de hauteur $h=4$ cm.]

On rappelle que le volume d'un cône est $V=\frac{1}{3}\times \pi \times r^2\times h$.

1. Calculer le volume exact de ce cône, en ${\text{cm}}^3$, en fonction de $\pi$, puis en donner une valeur arrondie au ${\text{cm}}^3$. (4 points)

2. Pour une fête, le chocolatier réalise un cône géant, agrandissement du précédent dans le rapport $k=3$.

a. Quelle est la hauteur du cône géant ? (2 points)

b. Par combien le volume est-il multiplié lors de cet agrandissement ? (3 points)

c. En déduire le volume exact du cône géant en fonction de $\pi$. (3 points)

Exercice 7 — Algorithmique (12 points)

Dans un jeu vidéo, un personnage se déplace sur un quadrillage. On utilise le programme de type Scratch décrit ci-dessous. Au départ, le personnage se trouve à la position de coordonnées $(0;0)$ et est tourné vers la droite.

[Figure : programme Scratch.]

Programme :

• quand le drapeau vert est cliqué
• aller à $x:0$ $y:0$
• répéter $4$ fois :
•    ajouter $3$ à $x$
•    ajouter $2$ à $y$
• fin de répéter

1. Quelles sont les coordonnées du personnage après une seule répétition de la boucle ? (2 points)

2. Quelles sont les coordonnées du personnage à la fin du programme, après les $4$ répétitions ? (4 points)

3. On note $n$ le nombre de répétitions. Exprimer, en fonction de $n$, l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ du personnage après $n$ répétitions. (3 points)

4. Combien de répétitions faut-il pour que l'abscisse $x$ soit égale à $30$ ? Quelle est alors l'ordonnée $y$ ? (3 points)