Brevet blanc de maths n°15 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°15

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (12 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{7}{6}-\frac{5}{3}\times \frac{1}{2}$ est égal à :
   a. $\frac{1}{3}$    b. $\frac{1}{2}$    c. $\frac{2}{3}$
2. La forme développée de $(2x-3{)}^2$ est :
   a. $4x^2-9$    b. $4x^2-12x+9$    c. $4x^2+9$
3. Le nombre $\frac{8\times 10^6\times 3\times 10^{-2}}{4\times 10^3}$ est égal à :
   a. $6\times 10^1$    b. $6\times 10^5$    c. $6\times 10^{-3}$
4. On lance un dé équilibré à six faces. La probabilité d'obtenir un nombre premier est :
   a. $\frac{1}{2}$    b. $\frac{1}{3}$    c. $\frac{2}{3}$

Exercice 2 (16 points)

Un artisan confiseur prépare des coffrets de chocolats. Il dispose de $144$ chocolats noirs et de $90$ chocolats au lait. Il veut réaliser des coffrets identiques, en utilisant tous les chocolats, de sorte que chaque coffret contienne le même nombre de chocolats noirs et le même nombre de chocolats au lait.

1. Montrer que $144$ et $90$ ne sont pas premiers entre eux.
2. Déterminer le PGCD de $144$ et $90$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide. On détaillera les étapes.
3. Quel est le nombre maximal de coffrets identiques que l'artisan peut réaliser ?
4. Pour ce nombre maximal de coffrets, indiquer combien de chocolats noirs et combien de chocolats au lait contient chaque coffret.
5. Chaque chocolat noir est vendu $0,80$ € et chaque chocolat au lait $0,60$ €. Calculer le prix de vente d'un coffret.

Exercice 3 (15 points)

Deux cyclistes, Naïm et Lina, parcourent le même circuit de $42$ km entre deux villages.

• Naïm roule à une vitesse moyenne constante de $24$ km/h.
• Lina part au même instant que Naïm. La distance qu'elle parcourt est proportionnelle au temps : après $30$ minutes, elle a parcouru $15$ km.

1. Calculer la vitesse moyenne de Lina en km/h.
2. Quel temps, en heures et minutes, Naïm met-il pour parcourir les $42$ km ?
3. Montrer que Lina parcourt les $42$ km en $1$ h $24$ min.
4. Les deux cyclistes partent à $9$ h $00$. À quelle heure chacun arrive-t-il ? Lequel arrive le premier ?
5. Au bout de combien de temps Lina a-t-elle parcouru exactement $7$ km de plus que Naïm ? On exprimera le résultat en minutes.

Exercice 4 (14 points)

Une enseignante a relevé les durées, en minutes, que $15$ élèves ont consacrées à un devoir à la maison. Voici la série de valeurs :

$25;30;30;35;40;40;40;45;50;50;55;60;60;70;90$

1. Déterminer l'étendue de cette série.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Calculer la moyenne de cette série, arrondie à la minute.
4. On choisit au hasard un de ces $15$ élèves. Calculer la probabilité que la durée de son devoir soit supérieure ou égale à $50$ minutes. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
5. L'enseignante affirme : « Plus de la moitié des élèves ont travaillé moins de $45$ minutes. » A-t-elle raison ? Justifier.

Exercice 5 (15 points)

Un parc de loisirs propose deux formules pour la saison.

• Formule A : on paie $6$ € à chaque entrée.
• Formule B : on achète une carte d'abonnement à $30$ €, puis chaque entrée coûte $2$ €.

On note $x$ le nombre d'entrées dans la saison. On appelle $f$ le coût total avec la formule A et $g$ le coût total avec la formule B, en euros.

1. Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$. Préciser, pour chacune, s'il s'agit d'une fonction linéaire ou affine.
2. Calculer $f(10)$ et $g(10)$. Quelle formule est la plus avantageuse pour $10$ entrées ?
3. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$. Interpréter ce résultat.
4. À partir de combien d'entrées la formule B est-elle strictement plus avantageuse que la formule A ? Justifier.
5. Un client a payé $42$ € avec la formule B. Combien d'entrées a-t-il effectuées ?

Exercice 6 (16 points)

La figure ci-dessous représente une voile triangulaire. Les points $B$, $E$, $A$ sont alignés et les points $C$, $D$, $A$ sont alignés. On donne : $AB=6$ m, $AC=8$ m, $AE=2,4$ m et $AD=3,2$ m. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

[Figure : triangle ABC rectangle en A. Sur le côté [AB], le point E ; sur le côté [AC], le point D. Le petit triangle ADE est à l'intérieur, près du sommet A.]

1. Calculer la longueur $BC$. On donnera la valeur exacte puis l'arrondi au centième de mètre.
2. Montrer que les droites $(ED)$ et $(BC)$ sont parallèles.
3. Calculer la longueur $ED$.
4. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.
5. Le tissu de la voile, c'est-à-dire le triangle $ABC$, est vendu $19$ € le mètre carré. Calculer le prix du tissu nécessaire pour cette voile.

Exercice 7 (12 points)

Une entreprise fabrique des bougies. Une bougie a la forme d'un cône de révolution de rayon de base $3$ cm et de hauteur $8$ cm.

[Figure : cône de révolution droit, base circulaire de rayon 3 cm en bas, sommet en haut, hauteur 8 cm marquée par l'axe vertical.]

On rappelle que le volume d'un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ est $V=\frac{1}{3}\times \pi \times r^2\times h$.

1. Montrer que le volume de cette bougie est égal à $24\pi$ cm³. En donner la valeur arrondie au cm³.
2. L'entreprise crée un modèle géant, agrandissement de la bougie précédente dans le rapport $k=2,5$. Quel est le rayon de la base et la hauteur du modèle géant ?
3. Sans calculer directement le nouveau volume avec la formule, expliquer par combien est multiplié le volume de la bougie lors de cet agrandissement.
4. En déduire le volume du modèle géant, en fonction de $\pi$.

Le script ci-dessous, écrit en langage Scratch, calcule le volume d'un cône à partir de son rayon et de sa hauteur (on prendra $\pi \approx 3,14$).

[Figure : script Scratch — Quand le drapeau vert est cliqué ; demander « rayon ? » et attendre ; mettre r à (réponse) ; demander « hauteur ? » et attendre ; mettre h à (réponse) ; mettre V à ((((3,14) * (r * r)) * h) / 3) ; dire (V).]

5. On exécute ce script en saisissant $r=3$ puis $h=8$. Quelle valeur le bloc « dire » affiche-t-il ? Ce résultat est-il cohérent avec la question 1 ?