Brevet blanc de maths n°14 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°14

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (12 points) — Nombres et calculs

1. On considère le nombre $A=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}\times \frac{2}{9}$. Montrer que $A=\frac{19}{12}$.
2. Calculer $B=\frac{5\times 10^{-3}\times 6\times 10^8}{15\times 10^2}$ et donner le résultat sous forme d'une écriture scientifique.
3. Un fleuriste dispose de $144$ roses et $120$ tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs, chaque bouquet contenant le même nombre de roses et le même nombre de tulipes.
   1. Quel est le nombre maximal de bouquets qu'il peut réaliser ? (On justifiera en calculant un PGCD.)
   2. Combien de roses et combien de tulipes y aura-t-il alors dans chaque bouquet ?

Exercice 2 (14 points) — Proportionnalité et pourcentages

Une boutique en ligne vend un casque audio au prix de $80$ €.

1. Pendant les soldes, le prix du casque baisse de $25\%$. Calculer son nouveau prix.
2. Après les soldes, le prix soldé est augmenté de $20\%$. Le casque retrouve-t-il son prix initial de $80$ € ? Justifier.
3. Pour une commande, les frais de livraison sont proportionnels à la masse totale du colis. Une masse de $1,5$ kg coûte $4,50$ € de livraison.
   1. Quel est le coût de livraison pour $1$ kg ?
   2. Un client commande un colis de $2,4$ kg. Calculer ses frais de livraison.
4. La boutique a réalisé $12000$ € de ventes en mars et $13800$ € en avril. Calculer le pourcentage d'augmentation des ventes entre mars et avril.

Exercice 3 (16 points) — Statistiques et probabilités

Dans un club de sport, on a relevé le nombre de séances effectuées en une semaine par chacun des $25$ adhérents :

1. Calculer le nombre moyen de séances par adhérent.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter ce résultat.
3. Déterminer l'étendue de la série.
4. On choisit au hasard un adhérent du club.
   1. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué exactement $2$ séances ?
   2. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué au moins $4$ séances ?

Exercice 4 (14 points) — Fonctions

Une entreprise loue des vélos électriques. Le tarif comprend un forfait fixe auquel s'ajoute un montant par jour de location. Le prix $P$ (en euros) en fonction du nombre $x$ de jours est donné par la fonction :

$$P(x)=6x+10.$$

1. Calculer le prix d'une location de $4$ jours.
2. Un client a payé $52$ €. Combien de jours a-t-il loué le vélo ?
3. Que représente le nombre $10$ dans la situation ? Et le nombre $6$ ?
4. Un concurrent propose la fonction $Q(x)=8x$. À partir de combien de jours la première entreprise est-elle moins chère que le concurrent ? Justifier par le calcul.

Exercice 5 (16 points) — Géométrie (Pythagore, Thalès, trigonométrie)

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.

1. Calculer la longueur $BC$.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.
3. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ au segment $[AC]$ de sorte que $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$. On donne $AM=1,5$ cm.
   1. Justifier que l'on peut utiliser le théorème de Thalès.
   2. Calculer la longueur $AN$.

Exercice 6 (12 points) — Volumes et agrandissement-réduction

Un fabricant produit des bougies en forme de cône. Une grande bougie a un rayon de base $R=5$ cm et une hauteur $h=12$ cm. On rappelle que le volume d'un cône est $V=\frac{1}{3}\times \pi \times R^2\times h$.

1. Calculer le volume exact de la grande bougie, puis en donner une valeur arrondie au ${\text{cm}}^3$.
2. Le fabricant crée une petite bougie qui est une réduction de la grande de rapport $\frac{1}{2}$. Quel est le rayon de base de la petite bougie ?
3. Sans calculer son volume directement, déterminer le volume de la petite bougie à partir du volume de la grande. (On donnera une valeur arrondie au ${\text{cm}}^3$.)

Exercice 7 (11 points) — Algorithmique (Scratch)

On étudie le programme Scratch ci-dessous, écrit en langage courant :

quand drapeau cliqué
mettre N à 5
mettre R à 0
répéter 3 fois
    mettre R à (R + N)
    mettre N à (N + 2)
fin
dire R

1. Recopier et compléter le tableau d'évolution des variables après chaque passage dans la boucle :

   Passage	début	1	2	3
   $N$	$5$	...	...	...
   $R$	$0$	...	...	...

2. Quelle valeur le programme affiche-t-il à la fin (instruction « dire R ») ?
3. On remplace l'instruction « mettre N à 5 » par « mettre N à 10 » et on garde tout le reste. Quelle valeur le programme affiche-t-il alors ?