Brevet blanc de maths n°13 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°13

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (14 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}$ est égal à :
   a. $\frac{5}{4}$    b. $\frac{1}{2}$    c. $\frac{11}{12}$
2. Le PGCD de $180$ et $48$ est :
   a. $6$    b. $12$    c. $24$
3. L'écriture scientifique de $\frac{6\times 10^3\times 5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-2}}$ est :
   a. $1,5\times 10^{-1}$    b. $1,5\times 10^0$    c. $15\times 10^{-2}$
4. L'expression $(2x-5{)}^2$ développée et réduite est :
   a. $4x^2-25$    b. $4x^2-20x+25$    c. $4x^2+25$
5. La solution de l'équation $5x+8=2x-7$ est :
   a. $x=5$    b. $x=-5$    c. $x=\frac{1}{3}$

Exercice 2 (14 points)

Une coopérative apicole conditionne du miel récolté pendant l'été. Le miel est d'abord stocké dans un grand fût, puis réparti dans des pots.

• Le fût contient $63$ kg de miel.
• Chaque pot peut contenir au maximum $0,5$ kg de miel.

1. Combien de pots au minimum faut-il pour conditionner tout le miel du fût ? Justifier.
2. Un pot vide a une masse de $180$ g. Une fois rempli de $0,5$ kg de miel, quelle est la masse totale d'un pot plein, en grammes ?
3. La coopérative vend chaque pot plein $7,50$ €. Sur ce prix, elle reverse $8\%$ à une association de protection des abeilles. Quel montant reverse-t-elle pour un pot vendu ?
4. L'an dernier, la coopérative avait récolté $52,5$ kg de miel. Calculer le pourcentage d'augmentation de la récolte entre l'an dernier et cette année.

Exercice 3 (12 points)

Pour préparer une teinture, un artisan doit toujours respecter la même proportion : il mélange du pigment et de l'eau. Pour $40$ g de pigment, il utilise $250$ mL d'eau.

1. Quelle quantité d'eau faut-il pour $64$ g de pigment ? Justifier que la situation est une situation de proportionnalité.
2. L'artisan dispose de $1$ L d'eau ($1000$ mL). Quelle masse de pigment peut-il utiliser au maximum en respectant la proportion ?
3. On note $p$ la masse de pigment (en g) et $e$ la quantité d'eau (en mL). Exprimer $e$ en fonction de $p$.

Exercice 4 (14 points)

Lors d'un tournoi de tir à l'arc, on a relevé le nombre de points marqués par chacun des $13$ archers d'un club lors de la finale. Voici la série :

$34412841374150304145384122$

1. Calculer le nombre moyen de points marqués par archer. Arrondir à $0,1$.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte.
3. Déterminer l'étendue et le mode de la série.

Pour une récompense surprise, on place dans une boîte $13$ jetons portant chacun le nom d'un archer. Parmi ces $13$ archers, $6$ ont marqué au moins $41$ points. On tire un jeton au hasard.

4. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le nom d'un archer ayant marqué au moins $41$ points ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
5. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le nom d'un archer ayant marqué strictement moins de $41$ points ?

Exercice 5 (16 points)

Un parc de loisirs propose deux formules pour les sorties en kayak sur le lac.

• Formule À la carte : $7$ € par heure de location, sans abonnement.
• Formule Aventurier : un abonnement annuel de $48$ € puis $3$ € par heure de location.

On note $x$ le nombre d'heures de location dans l'année.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule À la carte, puis le prix $g(x)$ payé avec la formule Aventurier.
2. Calculer le prix de chaque formule pour $8$ heures de location.
3. Parmi $f$ et $g$, indiquer laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
4. Résoudre l'équation $7x=48+3x$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Un kayakiste régulier prévoit de louer $20$ heures dans l'année. Quelle formule a-t-il intérêt à choisir ? Justifier par un calcul.

Exercice 6 (16 points)

Pour franchir un petit ravin, on installe une passerelle. Le point $A$ se trouve sur un bord, en haut d'une berge, et le point $C$ sur l'autre bord, plus bas. On modélise la situation par le triangle $ABC$ rectangle en $B$, où $B$ est situé au pied de la berge de départ.

[Figure : triangle ABC rectangle en B ; AB (hauteur verticale de la berge) = 4,8 m ; BC (largeur horizontale du ravin) = 6,4 m ; AC est la passerelle, hypoténuse.]

1. Calculer la longueur $AC$ de la passerelle.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ que fait la passerelle avec l'horizontale $(BC)$, arrondie au degré près.

On place une rambarde le long de la passerelle. Sur le segment $[AC]$, on place un poteau au point $N$, relié verticalement au sol horizontal $(BC)$ en un point $M$ du segment $[BC]$. La droite $(MN)$ est parallèle à $(AB)$, avec $M\in [BC]$ et $N\in [AC]$. On donne $CM=4,8$ m.

[Figure : segment MN parallèle à AB ; M sur [BC], N sur [AC] ; CM = 4,8 m mesuré depuis C.]

3. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$.

Exercice 7 (8 points)

Un fabricant de bougies coule de la cire fondue dans des moules en forme de cône. Un moule a la forme d'un cône de révolution de rayon de base $R=3$ cm et de hauteur $h=8$ cm. On rappelle que le volume d'un cône est $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$.

1. Montrer que le volume d'une bougie conique est environ égal à $75,4$ cm${}^3$. Arrondir à $0,1$ cm${}^3$.
2. La cire a une masse volumique de $0,9$ g/cm${}^3$. Calculer la masse de cire d'une bougie. Arrondir au gramme.
3. Le fabricant réalise une bougie géante, agrandissement de la bougie précédente dans le rapport $k=3$. Par combien le volume est-il multiplié ? En déduire le volume de la bougie géante, arrondi à $1$ cm${}^3$.

Exercice 8 (6 points)

On considère le programme de calcul suivant, écrit pour un logiciel de type Scratch.

[Programme (type Scratch) :]

• Demander un nombre et le stocker dans la variable n.
• Mettre resultat à $(n-4)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}\times n)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}+3)$.
• Dire la valeur de resultat.

1. On choisit $n=6$. Quelle valeur le lutin affiche-t-il à la fin ? Détailler les étapes.
2. On choisit $n=1$. Quelle valeur est affichée ?
3. Pour un nombre $n$ quelconque, écrire en fonction de $n$ l'expression donnant le résultat affiché, sous forme développée et réduite.