Brevet blanc de maths n°12 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°12

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (14 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}\times \frac{2}{5}$ est égal à :
   a. $\frac{5}{4}$    b. $\frac{1}{4}$    c. $\frac{9}{4}$
2. Le PGCD de $156$ et $104$ est :
   a. $26$    b. $52$    c. $13$
3. Le nombre $\frac{8\times 10^6\times 3\times 10^{-2}}{4\times 10^3}$ est égal à :
   a. $6\times 10^1$    b. $6\times 10^2$    c. $6\times 10^5$
4. On développe $(2x-5{)}^2$. On obtient :
   a. $4x^2-25$    b. $4x^2-20x+25$    c. $4x^2+25$
5. La solution de l'équation $5x+3=2x-9$ est :
   a. $x=-4$    b. $x=4$    c. $x=-2$

Exercice 2 (14 points)

Une coopérative agricole conditionne du miel récolté dans ses ruches. Cette année, elle a récolté $1008$ pots de miel de fleurs et $672$ pots de miel de châtaignier. Elle souhaite préparer des coffrets cadeaux identiques contenant chacun le même nombre de pots de chaque sorte, en utilisant tous les pots.

1. Justifier qu'il n'est pas possible de réaliser $30$ coffrets identiques utilisant tous les pots.
2. Calculer le PGCD de $1008$ et $672$. On détaillera la méthode utilisée.
3. Quel est le nombre maximal de coffrets identiques que la coopérative peut préparer en utilisant tous les pots ?
4. Pour ce nombre maximal de coffrets, indiquer la composition d'un coffret (nombre de pots de chaque sorte).

Exercice 3 (14 points)

Pour préparer un semi-marathon, Léa s'entraîne sur une boucle de $21$ km autour d'un lac. Elle part à $8$ h $00$.

1. Sur la première partie, Léa court à la vitesse moyenne de $12$ km/h pendant $40$ minutes. Quelle distance a-t-elle parcourue durant ces $40$ minutes ?
2. Elle s'arrête $10$ minutes à un point d'eau, puis termine la distance restante à la vitesse moyenne de $9$ km/h. Calculer la durée de cette dernière partie, en heures et minutes.
3. À quelle heure Léa termine-t-elle sa boucle, en tenant compte de la pause ?
4. Le distributeur de boissons indique une consommation conseillée de $5$ cL d'eau par kilomètre parcouru. Quelle quantité d'eau, en litres, est conseillée pour toute la boucle de $21$ km ?

Exercice 4 (14 points)

Lors d'une compétition de tir à l'arc, on a relevé le score (sur $10$) obtenu par chacun des $9$ archers à leur dernière flèche. Voici la série :

$694897958$

1. Calculer le score moyen de cette série. Arrondir à $0,1$.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte.
3. Déterminer l'étendue et le mode de la série.

Pour un tirage au sort, on place dans un sac $9$ jetons, chacun portant le nom d'un archer. Parmi ces $9$ archers, $4$ ont obtenu un score d'au moins $8$ à leur dernière flèche. On tire un jeton au hasard.

4. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le nom d'un archer ayant obtenu au moins $8$ ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
5. Quelle est la probabilité que ce jeton porte le nom d'un archer ayant obtenu strictement moins de $8$ ?

Exercice 5 (12 points)

Une recyclerie de quartier propose deux formules pour louer des outils de bricolage sur une journée.

• Formule Solo : $7$ € par outil loué, sans adhésion.
• Formule Adhérent : une adhésion de $40$ € pour l'année, puis $3$ € par outil loué.

On note $x$ le nombre d'outils loués dans l'année.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule Solo, puis le prix $g(x)$ payé avec la formule Adhérent.
2. Calculer le prix de chaque formule pour $8$ outils loués.
3. Parmi $f$ et $g$, indiquer laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
4. Résoudre l'équation $7x=40+3x$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Un habitant prévoit de louer $15$ outils dans l'année. Quelle formule a-t-il intérêt à choisir ? Justifier.

Exercice 6 (16 points)

Pour observer les oiseaux d'un étang, un club nature installe une rampe d'accès rectiligne menant à une plateforme surélevée. La rampe $[SA]$ relie le sol au sommet $S$ d'un poteau vertical $[BS]$. Le poteau est planté au sol au point $B$, et le pied de la rampe est au point $A$ sur le sol. Le triangle $SBA$ est rectangle en $B$.

[Figure : triangle SBA rectangle en B ; BS (poteau vertical) = 1,8 m ; BA (distance au sol entre le pied du poteau et le pied de la rampe) = 2,4 m ; SA est la rampe, hypoténuse.]

1. Calculer la longueur $SA$ de la rampe.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{SAB}$ que fait la rampe avec le sol, arrondie au degré près.

Sur la rampe $[SA]$, on fixe une main courante horizontale partant d'un point $N$ de $[SA]$ jusqu'à un point $M$ du poteau $[BS]$. La droite $(MN)$ est parallèle au sol $(BA)$, avec $M\in [BS]$ et $N\in [SA]$. On donne $SM=1,2$ m, mesuré depuis le sommet $S$.

[Figure : segment MN parallèle à BA ; M sur [BS], N sur [SA] ; SM = 1,2 m mesuré depuis le sommet S.]

3. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$.

Exercice 7 (8 points)

Un artisan fabrique des bougies en forme de cône. Un cône de bougie a un rayon de base de $3$ cm et une hauteur de $8$ cm. On rappelle que le volume d'un cône de rayon $R$ et de hauteur $h$ est $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$.

1. Montrer que le volume d'une bougie est environ égal à $75,4$ cm${}^3$. Arrondir à $0,1$ cm${}^3$.
2. La cire utilisée a une masse volumique de $0,9$ g/cm${}^3$. Calculer la masse de cire d'une bougie. Arrondir au gramme.

Pour une commande spéciale, l'artisan réalise une bougie géante, réduction inversée : c'est en réalité un agrandissement de la bougie précédente dans le rapport $k=3$.

3. Quels sont le rayon et la hauteur de la bougie géante ?
4. Par combien le volume de la bougie est-il multiplié lorsqu'on agrandit dans le rapport $k=3$ ? En déduire le volume de la bougie géante, arrondi à $1$ cm${}^3$.

Exercice 8 (8 points)

On considère le programme de calcul suivant, écrit pour un logiciel de type Scratch.

[Programme (type Scratch) :]

• Demander un nombre et le stocker dans la variable n.
• Mettre resultat à $(n-1)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}\times n)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}+6)$.
• Dire la valeur de resultat.

1. On choisit $n=4$. Quelle valeur le lutin affiche-t-il à la fin ? Détailler les étapes.
2. On choisit $n=-2$. Quelle valeur est affichée ?
3. Pour un nombre $n$ quelconque, écrire en fonction de $n$ l'expression donnant le résultat affiché, sous forme développée et réduite.
4. Montrer que choisir $n=3$ donne le même résultat affiché que choisir $n=-2$.