Brevet blanc de maths n°11 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°11

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (15 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}$ est égal à :
   a. $\frac{5}{4}$    b. $\frac{1}{2}$    c. $\frac{3}{4}$
2. Le PGCD de $156$ et $234$ est :
   a. $39$    b. $78$    c. $26$
3. L'écriture scientifique du nombre $B=\frac{15\times 10^{-3}\times 8\times 10^6}{6\times 10^2}$ est :
   a. $2\times 10^2$    b. $2\times 10^1$    c. $20\times 10^0$
4. L'expression $(2x-5{)}^2$ développée est égale à :
   a. $4x^2-25$    b. $4x^2-20x+25$    c. $4x^2+25$
5. La solution de l'équation $5x+4=2x-11$ est :
   a. $x=-5$    b. $x=5$    c. $x=-\frac{7}{3}$

Exercice 2 (14 points)

Un club de robotique organise un atelier. Il achète des kits de pièces détachées pour construire des robots éducatifs.

• Chaque kit coûte $35$ € et contient $84$ pièces.
• Le club a besoin de $1260$ pièces au total.

1. Combien de kits au minimum faut-il acheter pour disposer d'au moins $1260$ pièces ? Justifier.
2. Quel est alors le coût total de cet achat de kits ?
3. Le fournisseur accorde une remise de $15\%$ pour toute commande d'au moins $12$ kits. Le club commande exactement $15$ kits. Calculer le montant payé après remise.
4. L'an dernier, le club comptait $32$ membres ; cette année il en compte $40$. Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de membres.

Exercice 3 (14 points)

Une fontaine de jardin est alimentée par une pompe. On étudie le remplissage de son bassin, dont la contenance utile est de $480$ litres.

1. La pompe débite $40$ litres par minute. Le débit est-il proportionnel au temps ? Calculer le volume d'eau versé en $7$ minutes.
2. Combien de temps faut-il pour remplir complètement le bassin de $480$ litres ? Donner le résultat en minutes.
3. Pour économiser l'eau, on remplace la pompe par un modèle qui remplit le même bassin de $480$ litres en $20$ minutes. Calculer le débit de cette nouvelle pompe, en litres par minute.
4. Avec la nouvelle pompe, exprimer en fonction du temps $t$ (en minutes) le volume $V$ (en litres) d'eau versé. Quelle est la nature de cette situation ?

Exercice 4 (14 points)

Lors d'un tournoi sportif scolaire, on a relevé le nombre de buts marqués par chacune des $13$ équipes au cours de la première journée. Voici la série :

$3142540462431$

1. Calculer le nombre moyen de buts marqués par équipe. Arrondir à $0,1$.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte.
3. Déterminer l'étendue et le mode de la série.

Pour désigner l'équipe qui ouvrira la cérémonie, on place dans un sac $13$ jetons portant chacun le nom d'une équipe. On tire un jeton au hasard.

4. Quelle est la probabilité que l'équipe tirée ait marqué exactement $4$ buts ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
5. Quelle est la probabilité que l'équipe tirée ait marqué au moins $4$ buts ?

Exercice 5 (12 points)

Une troupe de théâtre propose deux formules pour assister à ses spectacles de la saison.

• Formule Soirée : $12$ € par spectacle, sans abonnement.
• Formule Saison : un abonnement de $40$ € pour la saison, puis $4$ € par spectacle.

On note $x$ le nombre de spectacles vus dans la saison.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec la formule Soirée, puis le prix $g(x)$ payé avec la formule Saison.
2. Calculer le prix de chaque formule pour $6$ spectacles.
3. Parmi $f$ et $g$, indiquer laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
4. Résoudre l'équation $12x=40+4x$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Une spectatrice prévoit d'assister à $9$ spectacles. Quelle formule a-t-elle intérêt à choisir ? Justifier.

Exercice 6 (15 points)

Pour signaliser un chantier, on installe un panneau triangulaire maintenu par une potence. Le mât $[BS]$ est vertical et fixé au sol au point $B$. Un hauban (câble) relie le sommet $S$ du mât à un ancrage $A$ situé au sol. Le triangle $SBA$ est rectangle en $B$.

[Figure : triangle SBA rectangle en B ; BS (mât vertical) = 2,4 m ; BA (distance au sol entre le pied du mât et l'ancrage) = 1,8 m ; SA est le hauban, hypoténuse.]

1. Calculer la longueur $SA$ du hauban.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{SAB}$ que fait le hauban avec le sol, arrondie au degré près.

Sur le hauban $[SA]$, on fixe une plaque réfléchissante au point $N$, reliée horizontalement au mât en un point $M$ du segment $[BS]$. La droite $(MN)$ est parallèle au sol $(BA)$, avec $M\in [BS]$ et $N\in [SA]$. On donne $SM=1,6$ m, mesuré depuis le sommet $S$.

[Figure : segment MN parallèle à BA ; M sur [BS], N sur [SA] ; SM = 1,6 m mesuré depuis le sommet S.]

3. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $MN$.

Exercice 7 (8 points)

Un artisan fabrique des bougies en forme de cône. Une bougie a un rayon de base de $3$ cm et une hauteur de $8$ cm. On rappelle que le volume d'un cône de rayon $R$ et de hauteur $h$ est $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$.

1. Montrer que le volume d'une bougie est environ égal à $75,4$ cm${}^3$. Arrondir à $0,1$ cm${}^3$.
2. La cire utilisée a une masse volumique de $0,9$ g/cm${}^3$. Calculer la masse de cire d'une bougie. Arrondir au gramme.

Pour une commande spéciale, l'artisan réalise une bougie géante, agrandissement de la bougie précédente dans le rapport $k=3$.

3. Quels sont le rayon de base et la hauteur de la bougie géante ?
4. Par combien le volume de la bougie est-il multiplié lorsqu'on agrandit dans le rapport $k=3$ ? En déduire le volume de la bougie géante, arrondi à $1$ cm${}^3$.

Exercice 8 (8 points)

On considère le programme de calcul suivant, écrit pour un logiciel de type Scratch.

[Programme (type Scratch) :]

• Demander un nombre et le stocker dans la variable n.
• Mettre resultat à $(n-1)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}\times n)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}+6)$.
• Dire la valeur de resultat.

1. On choisit $n=4$. Quelle valeur le lutin affiche-t-il à la fin ? Détailler les étapes.
2. On choisit $n=-2$. Quelle valeur est affichée ?
3. Pour un nombre $n$ quelconque, écrire en fonction de $n$ l'expression donnant le résultat affiché, sous forme développée et réduite.
4. Montrer que choisir $n=3$ donne le même résultat affiché que choisir $n=-2$.