Brevet blanc de maths n°10 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques n°10

Durée : 2 heures — 100 points. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte (la maîtrise de la langue compte pour 5 points sur 100).

Exercice 1 (14 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ne retire aucun point.

1. Le nombre $A=\frac{7}{4}-\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}$ est égal à :
   a. $1$    b. $\frac{3}{2}$    c. $\frac{5}{4}$
2. L'écriture scientifique de $0,00042$ est :
   a. $4,2\times 10^{-4}$    b. $42\times 10^{-5}$    c. $4,2\times 10^4$
3. Une fraction irréductible égale à $\frac{96}{132}$ est :
   a. $\frac{8}{11}$    b. $\frac{48}{66}$    c. $\frac{16}{22}$
4. L'expression développée de $(2x-5{)}^2$ est :
   a. $4x^2-25$    b. $4x^2-20x+25$    c. $4x^2+25$
5. La solution de l'équation $5x+8=2x-7$ est :
   a. $x=5$    b. $x=-5$    c. $x=\frac{1}{3}$

Exercice 2 (14 points)

Une coopérative agricole conditionne du miel récolté dans ses ruches. Elle dispose cette année de $1560$ pots de miel de lavande et de $1080$ pots de miel de châtaignier. Pour la vente sur un marché, elle souhaite préparer des coffrets identiques contenant chacun les deux sortes de miel, en utilisant tous les pots et sans en ouvrir.

1. Montrer que le nombre de coffrets ne peut pas être égal à $80$.
2. Quel est le nombre maximal de coffrets identiques que la coopérative peut préparer ? Justifier à l'aide d'un calcul de PGCD.
3. Pour ce nombre maximal de coffrets, combien de pots de chaque sorte contient un coffret ?
4. Chaque coffret est vendu $24$ €. La coopérative espère vendre tous les coffrets. Calculer la recette totale attendue.

Exercice 3 (14 points)

Un robot d'exploration se déplace sur un terrain et sa batterie se décharge avec le temps. À pleine charge, la batterie contient $1200$ unités d'énergie. On observe que la charge restante est proportionnelle au temps restant d'utilisation.

Le tableau ci-dessous donne la charge restante (en unités) en fonction du temps écoulé (en minutes) depuis le démarrage.

[Figure : tableau à deux lignes. Ligne « Temps écoulé (min) » : 0 ; 15 ; 40 ; ? . Ligne « Charge restante (unités) » : 1200 ; 1080 ; ? ; 200.]

1. Montrer que la charge restante diminue de façon proportionnelle au temps écoulé, et préciser de combien d'unités la charge diminue par minute.
2. Recopier et compléter les deux cases manquantes du tableau (la charge restante après $40$ minutes, puis le temps écoulé lorsqu'il reste $200$ unités).
3. Au bout de combien de minutes la batterie sera-t-elle complètement vide ?
4. Le robot a besoin d'au moins $600$ unités d'énergie pour revenir à sa base. Pendant combien de temps au maximum peut-il s'éloigner avant de devoir entamer son retour ?

Exercice 4 (14 points)

Un professeur d'EPS a relevé le nombre de paniers marqués par chacun des $13$ élèves d'un atelier de basket, lors d'une série de $20$ lancers francs. Voici les résultats :

$611914117111811413119$

1. Calculer le nombre moyen de paniers marqués par élève. Arrondir à $0,1$.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat dans le contexte.
3. Déterminer l'étendue et le mode de la série.

Pour récompenser la participation, le professeur place dans un sac $13$ cartes, chacune au nom d'un élève. Parmi ces $13$ élèves, $4$ ont marqué au moins $12$ paniers. Il tire une carte au hasard.

4. Quelle est la probabilité que la carte tirée soit celle d'un élève ayant marqué au moins $12$ paniers ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
5. Quelle est la probabilité que cet élève ait marqué strictement moins de $12$ paniers ?

Exercice 5 (12 points)

Un service de location de trottinettes électriques propose deux offres à ses utilisateurs pour un mois.

• Offre Balade : $0,30$ € par minute d'utilisation, sans frais d'inscription.
• Offre Citadin : un forfait mensuel de $18$ € donnant droit à un tarif réduit de $0,10$ € par minute.

On note $x$ le nombre de minutes d'utilisation dans le mois.

1. Exprimer en fonction de $x$ le prix $f(x)$ payé avec l'offre Balade, puis le prix $g(x)$ payé avec l'offre Citadin.
2. Calculer le prix de chaque offre pour $60$ minutes d'utilisation.
3. Parmi $f$ et $g$, indiquer laquelle est une fonction linéaire et laquelle est une fonction affine. Justifier.
4. Résoudre l'équation $0,30x=18+0,10x$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Un utilisateur prévoit de rouler $120$ minutes dans le mois. Quelle offre a-t-il intérêt à choisir ? Justifier.

Exercice 6 (16 points)

Pour franchir un petit ravin, un parc d'aventure installe une tyrolienne. Le câble de la tyrolienne relie une plateforme de départ, située en haut d'un pylône, au point d'arrivée situé au sol. Le pylône $[DT]$ est vertical : son pied $T$ est au sol et son sommet $D$ porte la plateforme de départ. Le point d'arrivée $A$ est au sol. Le triangle $DTA$ est rectangle en $T$.

[Figure : triangle DTA rectangle en T ; DT (pylône vertical) = 9 m ; TA (distance au sol entre le pied du pylône et l'arrivée) = 12 m ; DA est le câble de la tyrolienne, hypoténuse.]

1. Calculer la longueur $DA$ du câble de la tyrolienne.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{DAT}$ que fait le câble avec le sol, arrondie au degré près.

Le long du câble $[DA]$, on installe un point relais $R$, et on le relie verticalement au sol en un point $P$ du segment $[TA]$. Le segment $[RP]$ est vertical, donc parallèle au pylône $(DT)$, avec $P\in [TA]$ et $R\in [DA]$. On donne $AP=8$ m.

[Figure : segment RP parallèle à DT ; P sur [TA], R sur [DA] ; AP = 8 m mesuré depuis l'arrivée A.]

3. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la hauteur $RP$ du point relais au-dessus du sol.

Exercice 7 (8 points)

Une fromagerie artisanale fabrique des fromages en forme de cylindre. Un fromage a un diamètre de $20$ cm et une hauteur de $7$ cm. On rappelle que le volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ est $V=\pi R^{2}h$.

1. Montrer que le volume d'un fromage est environ égal à $2199$ cm${}^3$. Arrondir au cm${}^3$.
2. La pâte du fromage a une masse volumique de $1,1$ g/cm${}^3$. Calculer la masse d'un fromage. Arrondir au gramme.

La fromagerie propose aussi une version « mini » du fromage, réduction de la précédente dans le rapport $k=\frac{1}{2}$.

3. Quels sont le diamètre et la hauteur du fromage « mini » ?
4. Par combien le volume est-il multiplié lorsqu'on réduit dans le rapport $k=\frac{1}{2}$ ? En déduire le volume du fromage « mini », arrondi au cm${}^3$.

Exercice 8 (8 points)

On considère le programme de calcul suivant, écrit pour un logiciel de type Scratch.

[Programme (type Scratch) :]

• Demander un nombre et le stocker dans la variable n.
• Mettre resultat à $(n-4)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}\times n)$.
• Mettre resultat à $(\text{resultat}+3)$.
• Dire la valeur de resultat.

1. On choisit $n=6$. Quelle valeur le lutin affiche-t-il à la fin ? Détailler les étapes.
2. On choisit $n=-2$. Quelle valeur est affichée ?
3. Pour un nombre $n$ quelconque, écrire en fonction de $n$ l'expression donnant le résultat affiché, sous forme développée et réduite.
4. Montrer que choisir $n=1$ donne le même résultat affiché que choisir $n=3$.