Brevet blanc de maths n°1 — sujet et corrigé

Brevet blanc de mathématiques — Sujet n°1

Durée : 2 heures — 100 points. L'usage de la calculatrice est autorisé. Les sept exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'évaluation.

Exercice 1 (14 points) — Nombres et calculs

1. On considère l'expression numérique $A=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\times \frac{9}{4}$. Calculer $A$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
2. On donne $B=\frac{3\times 10^{-2}\times 4\times 10^5}{6\times 10^4}$. Donner l'écriture scientifique de $B$.
3. On considère l'expression littérale $C=(2x-3{)}^2-(2x-3)(x+5)$.
   1. Développer et réduire $C$.
   2. Factoriser $C$.
   3. Résoudre l'équation $(2x-3)(x-8)=0$.
4. On veut partager deux cordes de longueurs $84$ cm et $120$ cm en morceaux tous de même longueur (un nombre entier de centimètres), sans perte. Quelle est la plus grande longueur possible d'un morceau ? Combien de morceaux obtient-on en tout ?

Exercice 2 (14 points) — Proportionnalité, pourcentages et vitesses

Un cycliste effectue une sortie d'entraînement.

1. Il parcourt les $45$ premiers kilomètres en $1$ h $30$ min. Calculer sa vitesse moyenne, en km/h, sur cette portion.
2. Sur une seconde portion, il roule à la vitesse moyenne de $24$ km/h pendant $40$ minutes. Quelle distance, en km, parcourt-il sur cette portion ?
3. Le vélo du cycliste coûtait $1250$ € l'an dernier. Son prix a augmenté de $8\%$ cette année. Calculer son nouveau prix.
4. Un magasin propose ce même vélo (au nouveau prix) avec une remise de $15\%$. Quel est le prix après remise ?
5. Globalement, en repartant du prix de l'an dernier ($1250$ €), le prix payé en magasin correspond-il à une hausse ou à une baisse par rapport à l'an dernier ? Préciser le pourcentage d'évolution global, arrondi à $0,1\%$.

Exercice 3 (14 points) — Statistiques et probabilités

Un professeur relève les notes sur $20$ obtenues par les $25$ élèves d'une classe à un devoir.

[Figure : tableau d'effectifs des notes de la classe.]

• Note $8$ : $3$ élèves
• Note $10$ : $5$ élèves
• Note $12$ : $7$ élèves
• Note $14$ : $6$ élèves
• Note $16$ : $4$ élèves

1. Calculer la moyenne des notes de la classe.
2. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat par une phrase.
3. Déterminer l'étendue de la série.
4. On choisit un élève au hasard dans la classe. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu une note au moins égale à $12$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

Exercice 4 (14 points) — Fonctions

On considère les deux fonctions définies par : $f(x)=3x-2$ et $g(x)=-x+6$.

1. Préciser la nature de chacune des fonctions $f$ et $g$ (linéaire ou affine).
2. Calculer $f(4)$ et $g(4)$.
3. Déterminer l'antécédent de $7$ par la fonction $f$.
4. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$. Que représente la valeur trouvée pour les représentations graphiques de $f$ et $g$ ?
5. Pour un service, le coût en euros est modélisé par $g(x)=-x+6$ tant que $g(x)\ge 0$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $g(x)=0$ ?

Exercice 5 (16 points) — Géométrie plane

[Figure : un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ avec $AM=3,6$ cm et le point $N$ appartient au segment $[AC]$ avec $AN=4,8$ cm.]

1. Montrer que $BC=10$ cm.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.
3. 1. Montrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
   2. En déduire la longueur $MN$.

Exercice 6 (16 points) — Grandeurs et géométrie dans l'espace

Un objet décoratif est composé d'un cylindre surmonté d'un cône de même rayon.

[Figure : un cylindre de rayon $r=5$ cm et de hauteur $h=12$ cm ; au-dessus, un cône de même rayon $r=5$ cm et de hauteur $h^{\prime }=9$ cm.]

On rappelle : volume d'un cylindre $V=\pi r^{2}h$ ; volume d'un cône $V=\frac{1}{3}\pi r^2{h}^{\prime }$.

1. Calculer le volume du cylindre. Donner la valeur exacte (en fonction de $\pi$), puis la valeur arrondie au cm${}^3$.
2. Calculer le volume du cône. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm${}^3$.
3. En déduire le volume total de l'objet, arrondi au cm${}^3$.
4. On réalise une maquette de cet objet à l'échelle $\frac{1}{2}$ (réduction de rapport $\frac{1}{2}$). Par quel nombre le volume total est-il multiplié ? Donner le volume de la maquette, arrondi au cm${}^3$.

Exercice 7 (12 points) — Algorithmique

On considère le programme de calcul suivant, écrit avec un logiciel de type Scratch.

[Figure : programme de calcul de type Scratch.]

• Choisir un nombre.
• Lui ajouter $4$.
• Multiplier le résultat par $3$.
• Soustraire $12$ au résultat précédent.

1. Montrer que si l'on choisit le nombre $5$, le programme renvoie $15$.
2. Quel résultat obtient-on si l'on choisit le nombre $-4$ ?
3. On note $x$ le nombre choisi. Montrer que le programme renvoie toujours $3x$.
4. Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le programme renvoie $0$ ?
5. Marie affirme : « Si je choisis un nombre entier, le résultat du programme est toujours un multiple de $3$. » A-t-elle raison ? Justifier.