Examen blanc n°2 — Seconde

Examen blanc n°2 — Seconde

Durée : 2 h. Barème sur 100 points. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la clarté des justifications seront prises en compte.

Exercice 1 — Calcul littéral, équations et inéquations (24 points)

1. Développer et réduire les expressions suivantes. (6 pts)

a) $A=(2x-3)(x+5)$
b) $B=(3x-1{)}^2-(x+4)(x-4)$

2. Factoriser les expressions suivantes. (6 pts)

a) $C=(x-2)(x+7)+(x-2)(3x-1)$
b) $D=9x^2-25$

3. Résoudre l'équation $(2x-6)(x+4)=0$. (4 pts)

4. Résoudre l'inéquation $5x-7\le 2x+5$ et représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée. (4 pts)

5. On considère l'expression $E=\frac{x-3}{x+2}$. Pour quelle valeur de $x$ cette expression n'est-elle pas définie ? Résoudre ensuite $E=0$. (4 pts)

Exercice 2 — Fonctions et variations (28 points)

On considère les fonctions définies par $f(x)=x^2$, $g(x)=\frac{1}{x}$ et la fonction affine $h(x)=-2x+3$.

1. Calculer $f(-3)$, $g\left(\frac{1}{4}\right)$ et $h(5)$. (3 pts)

2. a) Donner, sans justification, le sens de variation de $f$ sur $]-\infty ;0]$ puis sur $[0;+\infty [$. (2 pts)
b) En déduire, en comparant sans calculer les images une à une, un classement de $f(-5)$ et $f(-2)$. Justifier par les variations. (3 pts)

3. a) Donner le sens de variation de la fonction inverse $g$ sur $]0;+\infty [$. (2 pts)
b) Comparer $g(2)$ et $g(7)$ sans les calculer, en justifiant par les variations. (3 pts)

4. On étudie la fonction $p$ dont le tableau de variations sur $[-4;6]$ est donné ci-dessous :

a) Donner le minimum de $p$ sur $[-4;6]$ et la valeur où il est atteint. (2 pts)
b) Sur quel intervalle $p$ est-elle croissante ? (2 pts)
c) Comparer $p(-1)$ et $p(0)$. (2 pts)

5. Pour la fonction affine $h$ : (9 pts)
a) Donner son sens de variation en justifiant.
b) Résoudre $h(x)=0$.
c) Résoudre l'inéquation $h(x)>7$.
d) Tracer l'allure de sa représentation graphique en précisant deux points.

Exercice 3 — Vecteurs et géométrie repérée (24 points)

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points $A(-2;1)$, $B(4;3)$, $C(1;-2)$ et $D(7;0)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$. (4 pts)

2. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils colinéaires ? Justifier par le calcul. Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(CD)$ ? (5 pts)

3. Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$. (3 pts)

4. Calculer la longueur $AB$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième. (4 pts)

5. Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $ABDE$ soit un parallélogramme (dans cet ordre). (5 pts)

6. Le point $F(-8;-1)$ appartient-il à la droite $(AB)$ ? Justifier à l'aide des vecteurs. (3 pts)

Exercice 4 — Statistiques, probabilités et échantillonnage (24 points)

Partie A — Statistiques. On a relevé les notes obtenues par $20$ élèves à un devoir :

1. Calculer la note moyenne de la classe (arrondie au centième). (3 pts)
2. Déterminer la médiane de cette série. (3 pts)
3. Déterminer l'étendue de la série. (2 pts)

Partie B — Probabilités (arbre). Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules sans remise.

4. Construire un arbre de probabilités décrivant cette expérience. (4 pts)
5. Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges. (3 pts)
6. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge et une boule verte (dans un ordre quelconque). (3 pts)

Partie C — Échantillonnage. Dans une population, on sait que la proportion d'individus possédant un certain caractère est $p=0,40$. On prélève un échantillon de taille $n=100$.

7. Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ donné par $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$. Dans un échantillon on observe une fréquence de $0,52$. Ce résultat est-il compatible avec la proportion annoncée ? (3 pts)