Examen blanc n°1 — Seconde

Examen blanc n°1 — Seconde

Durée : 2 h — 100 points. Calculatrice autorisée. La qualité de la rédaction sera prise en compte.

Exercice 1 — Ensembles, calcul littéral et intervalles (25 points)

1. Pour chacun des nombres suivants, indiquer le plus petit ensemble ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$) auquel il appartient : $a=-7$ ; $b=\frac{3}{4}$ ; $c=\sqrt{16}$ ; $d=\frac{2}{3}$ ; $e=\sqrt{5}$. (5 pts)

2. On pose $A=(4x-3{)}^2-(2x+1)(4x-3)$. Factoriser $A$. (5 pts)

3. On pose $B=(2x-5)(2x+5)-(x-3{)}^2$. Développer et réduire $B$. (5 pts)

4. On considère les intervalles $I=[-3;5[$ et $J=]2;8]$.

Déterminer $I\cap J$ puis $I\cup J$. (5 pts)

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $3x-7\le 5x+1$, et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. (5 pts)

Exercice 2 — Fonctions (30 points)

On considère les fonctions définies par $f(x)=x^2$, $g(x)=2x+3$ et $h(x)=\frac{1}{x}$.

1. Donner l'ensemble de définition de $h$. (3 pts)

2. Calculer $f(-3)$, $g(-3)$ et $h\left(\frac{1}{2}\right)$. (6 pts)

3. La fonction $g$ est affine. Préciser son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine, puis indiquer son sens de variation sur $\mathbb{R}$. (5 pts)

4. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$, c'est-à-dire $x^2=2x+3$. (6 pts)

5. Résoudre l'équation $h(x)=\frac{1}{2}$. (4 pts)

6. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et préciser les coordonnées de son sommet. (6 pts)

Exercice 3 — Géométrie repérée (25 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-3;2)$, $B(1;-1)$ et $C(5;4)$.

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$. (4 pts)

2. Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$. (4 pts)

3. Calculer la longueur $AB$. (4 pts)

4. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier à l'aide des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. (5 pts)

5. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme (on utilisera $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$). (4 pts)

6. Déterminer une équation de la droite $(AB)$. (4 pts)

Exercice 4 — Statistiques, probabilités et échantillonnage (20 points)

Partie A — Statistiques. On relève les notes suivantes (sur $20$) obtenues par $10$ élèves :

$8$ ; $12$ ; $9$ ; $15$ ; $11$ ; $14$ ; $10$ ; $13$ ; $12$ ; $16$.

1. Calculer la moyenne de cette série. (3 pts)

2. Déterminer la médiane. (3 pts)

3. Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$. (4 pts)

Partie B — Probabilités. Un sac contient $4$ boules rouges, $3$ boules bleues et $5$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

4. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge. (3 pts)

5. Calculer la probabilité de ne pas tirer une boule verte. (3 pts)

Partie C — Échantillonnage. Dans une population, la proportion d'un caractère est $p=0,3$. On prélève un échantillon de taille $n=100$.

6. Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$, donné par $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$. (4 pts)