Examen blanc n°2 — Première spécialité — sujet corrigé (Première — Spécialité Maths)

Examen blanc n°2 — Première spécialité

Durée : 120 minutes. Barème sur 100 points. La calculatrice est autorisée.

La qualité de la rédaction et le soin apporté aux justifications entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 — Dérivation et optimisation (30 points)

Une entreprise fabrique et vend des boîtes de conserve cylindriques. Pour une production comprise entre $0$ et $12$ (en milliers d'unités par jour), le coût total de production, en centaines d'euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0; 12]$ par :

$C (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 50.$

Chaque millier de boîtes est vendu $45$ centaines d'euros. La recette est donc $R (x) = 45 x$ (en centaines d'euros).

1. On note $B (x) = R (x) - C (x)$ le bénéfice, en centaines d'euros, pour une production de $x$ milliers de boîtes.

a. Montrer que $B (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 15 x - 50$ pour tout $x \in [0; 12]$ .

b. Calculer $B^{'} (x)$ et montrer que $B^{'} (x) = - 3 (x^{2} - 8 x + 5)$ .

2. Étudier le signe de $B^{'} (x)$ sur $[0; 12]$ . On donnera les valeurs exactes des racines, puis leurs valeurs approchées à $1 0^{- 2}$ près.

3. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0; 12]$ .

4. En déduire la production, arrondie à la centaine de boîtes, qui rend le bénéfice maximal, ainsi que ce bénéfice maximal arrondi à l'euro.

5. Déterminer, par le calcul ou par lecture du tableau, si l'entreprise peut réaliser un bénéfice strictement positif. Justifier.

Exercice 2 — Suites : récurrence et suite géométrique (25 points)

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 3.$

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .

2. On admet que $u_{n} ⩽ 15$ pour tout $n$ . Montrer par récurrence que la suite $(u_{n})$ est croissante, c'est-à-dire que $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ pour tout entier naturel $n$ .

3. On définit la suite $(v_{n})$ par $v_{n} = u_{n} - 15$ pour tout entier naturel $n$ .

a. Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_{0}$ .

b. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .

4. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ . Interpréter le résultat par rapport à la question 2.

5. On pose $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ . Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$ , puis en déduire $T_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ en fonction de $n$ .

Exercice 3 — Exponentielle et trigonométrie (20 points)

Partie A — Fonction exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = (2 x - 3) e^{x}$ .

1. Déterminer $f^{'} (x)$ et montrer que $f^{'} (x) = (2 x - 1) e^{x}$ .

2. Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $R$ .

3. Résoudre dans $R$ l'équation $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ . (Indication : poser $X = e^{x}$ .)

Partie B — Trigonométrie

4. On donne $cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$ . Déterminer, en justifiant, les valeurs exactes de $cos (\frac{5 π}{6})$ , $sin (\frac{π}{6})$ et $cos (- \frac{π}{6})$ .

5. Résoudre dans l'intervalle $[0; 2 π [$ l'équation $cos (x) = \frac{3}{2}$ .

Exercice 4 — Produit scalaire, probabilités conditionnelles et variable aléatoire (25 points)

Partie A — Produit scalaire (7 points)

Dans un repère orthonormé $(O; i, j)$ , on considère les points $A (1; 2)$ , $B (5; 4)$ et $C (3; - 1)$ .

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $A B$ et $A C$ .

2. Calculer le produit scalaire $A B \cdot A C$ .

3. En déduire une valeur approchée à $0, 1^{\circ}$ près de la mesure de l'angle $B A C$ .

Partie B — Probabilités conditionnelles (8 points)

Dans un lycée, $60 %$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $70 %$ pratiquent un sport en club ; parmi les garçons, $50 %$ pratiquent un sport en club. On choisit un élève au hasard. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $S$ l'événement « l'élève pratique un sport en club ».

4. Représenter la situation par un arbre pondéré.

5. Calculer la probabilité que l'élève soit une fille pratiquant un sport en club.

6. Montrer que $P (S) = 0, 62$ .

7. Un élève pratique un sport en club. Calculer la probabilité que ce soit une fille. Arrondir à $1 0^{- 3}$ .

Partie C — Variable aléatoire (10 points)

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Le joueur mise $2$ euros pour jouer. S'il obtient un $6$ , il gagne $8$ euros ; s'il obtient un $4$ ou un $5$ , il gagne $3$ euros ; sinon il ne gagne rien. On note $X$ le gain algébrique du joueur (gain reçu moins la mise de $2$ euros).

8. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

9. Calculer l'espérance $E (X)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?

10. Calculer la variance $V (X)$ et l'écart-type $σ (X)$ (arrondi à $1 0^{- 2}$ ).

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