Examen blanc n°1 — Première spécialité

Examen blanc n°1 — Première spécialité mathématiques
Durée : 120 minutes — Noté sur 100 points.
Les quatre exercices sont indépendants. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction sera prise en compte.

Exercice 1 — Second degré (20 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-8x+6$.
1. Déterminer la forme canonique de $f(x)$. (4 pts)
2. En déduire le sommet de la parabole ainsi que le sens de variation de $f$. (4 pts)
3. Calculer le discriminant $\Delta$ puis résoudre l’équation $f(x)=0$. (4 pts)
4. Factoriser $f(x)$. (3 pts)
5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $f(x)⩽0$. (5 pts)

Exercice 2 — Suites (25 points)
Partie A — Suite arithmétique. Une entreprise produit $500$ pièces le premier mois, puis augmente sa production de $30$ pièces chaque mois. On note $u_n$ le nombre de pièces produites le mois de rang $n$, avec $u_1=500$.
1. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et donner sa raison. (3 pts)
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{12}$. (4 pts)
3. Calculer le nombre total de pièces produites au cours des $12$ premiers mois. (4 pts)
Partie B — Suite géométrique. Un capital de $2000$ euros est placé à un taux d’intérêt annuel de $4\%$. On note $v_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années, avec $v_0=2000$.
4. Justifier que $(v_n)$ est géométrique de raison $1,04$. (3 pts)
5. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $v_5$ arrondi au centime. (4 pts)
6. Le capital aura-t-il doublé au bout de $18$ ans ? Justifier. (4 pts)
7. Calculer $S=v_0+v_1+\cdots +v_9$ arrondi au centime. (3 pts)

Exercice 3 — Dérivation et fonction exponentielle (25 points)
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(2x-3)e^x$.
1. Calculer $g(0)$. (2 pts)
2. Déterminer $g^{\prime }(x)$. (5 pts)
3. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$. (6 pts)
4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $g$ au point d’abscisse $0$. (5 pts)
5. On pose $h(x)=\frac{e^x}{x}$ pour $x>0$. Calculer $h^{\prime }(x)$ et déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $h$ atteint son minimum sur $]0;+\infty [$. (7 pts)

Exercice 4 — Probabilités conditionnelles et variable aléatoire (30 points)
Partie A. Dans un lycée, $60\%$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $70\%$ font de l’espagnol ; parmi les garçons, $40\%$ font de l’espagnol. On choisit un élève au hasard. On note $F$ l’événement « l’élève est une fille » et $E$ l’événement « l’élève fait de l’espagnol ».
1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (5 pts)
2. Calculer $P(F\cap E)$. (3 pts)
3. Montrer que $P(E)=0,58$. (4 pts)
4. Un élève fait de l’espagnol. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? Arrondir au millième. (6 pts)
Partie B. Un jeu coûte $2$ euros la partie. On tire une boule dans une urne contenant $10$ boules : $1$ boule rapporte $10$ euros, $3$ boules rapportent $3$ euros, et les autres ne rapportent rien. On note $X$ le gain algébrique du joueur (gain reçu moins la mise).
5. Déterminer la loi de probabilité de $X$. (6 pts)
6. Calculer l’espérance $E(X)$. Le jeu est-il favorable au joueur ? (6 pts)