Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°9)

Durée : 4 heures. L'usage de la calculatrice est autorisé. La qualité de la rédaction et le soin apporté à la justification des réponses seront pris en compte.

Exercice 1 — Limites et continuité (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

Partie A — Étude des limites et asymptotes

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. On lèvera la forme indéterminée en factorisant par le terme de plus haut degré.

2. En déduire que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ représentative de $f$ admet une asymptote horizontale $\Delta$ dont on précisera une équation.

3. Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $\Delta$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B — Une autre fonction et le théorème des valeurs intermédiaires

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.

2. Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variations.

3. Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

4. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

5. En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

Exercice 2 — Primitives et équations différentielles (7 points)

Partie A — Primitives

1. Déterminer une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=4x^3-6x+1$.

2. Déterminer la primitive $H$ sur $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction $h$ définie par $h(x)=\frac{2}{x}+3{\mathrm{e}}^x$ qui vérifie $H(1)=3\mathrm{e}$.

Partie B — Équation différentielle et modèle d'évolution

Une cuve contient une solution dont la concentration en sel (en grammes par litre) à l'instant $t$ (en heures) est modélisée par une fonction $y$ dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$, solution de l'équation différentielle :

À l'instant initial $t=0$, la concentration vaut $2$ grammes par litre.

1. Déterminer la solution constante (solution particulière) de l'équation $(E)$.

2. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $\left[0;+\infty \right[$, c'est-à-dire donner l'expression de toutes ses solutions.

3. Déterminer la solution $y$ qui vérifie la condition initiale $y(0)=2$.

4. Déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }y(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Au bout de combien d'heures la concentration atteint-elle $7$ grammes par litre ? On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième d'heure.

Exercice 3 — Combinatoire et dénombrement (6 points)

Partie A — QCM

Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Indiquer la réponse choisie et la justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Le nombre de façons de choisir $3$ délégués parmi une classe de $30$ élèves (sans ordre) est :

  a) $\frac{30!}{3!}$    b) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3}\right)=4060$    c) $30^3$    d) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{27}\right)=27$

2. La valeur de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)$ est égale à :

  a) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{5}\right)$    b) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)$    c) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}\right)$    d) $56$

3. Dans le développement de $(a+b{)}^6$, le coefficient du terme en $a^4{b}^2$ est :

  a) $6$    b) $15$    c) $20$    d) $30$

Partie B — Problème de dénombrement

Un sac contient $12$ jetons indiscernables au toucher : $7$ jetons rouges et $5$ jetons bleus. On tire simultanément $4$ jetons du sac.

1. Déterminer le nombre total de tirages possibles.

2. Déterminer le nombre de tirages contenant exactement $2$ jetons rouges et $2$ jetons bleus.

3. Déterminer le nombre de tirages contenant au moins un jeton bleu.

4. Établir une relation, à l'aide du triangle de Pascal, permettant de retrouver $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)$ à partir de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{4}\right)$, et la vérifier numériquement.