Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°8)

Durée : 4 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

Exercice 1 — Étude d'une fonction exponentielle (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1.

  a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. On pourra développer $f(x)=x{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x$ et utiliser un résultat de croissances comparées. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

  b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

2.

  a) Démontrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=x{\mathrm{e}}^x$.

  b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (les limites y figureront).

  c) En déduire que, pour tout réel $x$, $f(x)⩾-1$.

3. On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

  a) Déterminer une équation de la tangente $T$.

  b) Quelle particularité géométrique cette tangente possède-t-elle ? Justifier à l'aide de la question 2.c).

4.

  a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution réelle, que l'on précisera.

  b) Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2 — Calcul intégral (7 points)

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x)=(x+1){\mathrm{e}}^x.$$ On note ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que $g(x)>0$ pour tout $x\in [0;1]$.

1. On pose $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1){\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x.$$ À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $$I=\mathrm{e}.$$

2.

  a) Vérifier que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=x{\mathrm{e}}^x$ est une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$.

  b) Retrouver ainsi la valeur de l'intégrale $I$.

3. On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

  a) Justifier que $\mathcal{A}=I$, puis donner la valeur exacte et une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.

4. Déterminer la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;1]$.

5. On pose $$J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x.$$ Sans nouvelle intégration par parties, déduire la valeur exacte de $J$ à partir de $I$.

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace (6 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points $$A(1;2;3),B(2;1;3),C(3;1;1).$$

1.

  a) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

  b) Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2. On considère le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

  a) Démontrer, à l'aide de produits scalaires, que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

  b) En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

3. On considère le point $D(4;5;6)$ et la droite $\mathcal{D}$ passant par $D$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.

  a) Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

  b) Justifier que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.

  c) Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $(ABC)$.

4. En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. On confirmera le résultat à l'aide de la formule de la distance d'un point à un plan.