Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°7)

Exercice 1 — Suites et récurrence (7 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>6$. Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est décroissante.

3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. (On ne demande pas la valeur de la limite à cette question.)

4. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.

a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_0$.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=6+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

5. On souhaite déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n-6<10^{-3}$. Le script Python ci-dessous, écrit en langage proche du langage Python, doit renvoyer cette valeur de $n$. Recopier et compléter les lignes (1) et (2).

def seuil():
    n = 0
    u = 5
    while ........... :   # ligne (1)
        u = 0.5 * u + 3
        n = ...........   # ligne (2)
    return n

6. Déterminer par le calcul ce plus petit entier $n$.

Exercice 2 — Fonction logarithme (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :

$$f(x)=x-2+\ln (x).$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.

2. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty [$ et dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$.

4. Justifier que $1<\alpha <2$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

6. On admet que pour tout réel $x$ de $]0;+\infty [$ on a $\ln (x)⩽x-1$. En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $D$ d'équation $y=2x-3$.

Exercice 3 — Probabilités (6 points)

Partie A — Arbre pondéré

Dans un lycée, $60\%$ des élèves sont inscrits à l'option « sport ». Parmi les élèves inscrits à cette option, $80\%$ pratiquent une activité en club. Parmi les élèves non inscrits à cette option, $30\%$ pratiquent une activité en club.

On choisit un élève au hasard. On note :

• $S$ l'événement « l'élève est inscrit à l'option sport » ;
• $A$ l'événement « l'élève pratique une activité en club ».

1. Construire (ou décrire) l'arbre pondéré représentant cette situation.

2. Calculer la probabilité $P(S\cap A)$.

3. Démontrer que $P(A)=0,6$.

4. Un élève pratique une activité en club. Calculer la probabilité qu'il soit inscrit à l'option sport. On arrondira au millième.

Partie B — Loi binomiale

On choisit au hasard et de façon indépendante $10$ élèves de ce lycée (l'effectif est suffisamment grand pour assimiler ces choix à un tirage avec remise). On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'élèves, parmi ces $10$, qui pratiquent une activité en club.

5. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

6. Calculer la probabilité qu'exactement $6$ des $10$ élèves pratiquent une activité en club. On arrondira au millième.

7. Calculer la probabilité qu'au moins un des $10$ élèves pratique une activité en club. On arrondira au millième.

8. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.