Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°6)

Durée : 4 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

Exercice 1 — Étude d'une fonction exponentielle et logarithme (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $$f(x)=x-2+\ln x.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de $f$ en $0$ (par valeurs supérieures). Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

3.

  a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x>0$.

  b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty [$.

4.

  a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$.

  b) Justifier que $1<\alpha <2$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

5. On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $$g(x)={\mathrm{e}}^{f(x)}={\mathrm{e}}^{x-2+\ln x}.$$

  a) Démontrer que, pour tout réel $x>0$, $g(x)=x{\mathrm{e}}^{x-2}$.

  b) En déduire la limite de $g$ en $+\infty$ ainsi que la limite de $g$ en $0$.

  c) Calculer $g^{\prime }(x)$ et montrer que $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$.

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace (7 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points $$A(1;0;2),B(2;1;0),C(0;3;1).$$

1.

  a) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

  b) Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2. On considère le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 4\end{array}\right)$.

  a) Démontrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

  b) En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

3. On considère la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $D(3;2;5)$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.

  a) Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

  b) Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.

  c) Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $(ABC)$.

4. Le point $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$. En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.

Exercice 3 — Probabilités conditionnelles (6 points)

Dans un lycée, on s'intéresse aux élèves de terminale. On sait que :

• $55\%$ des élèves ont choisi la spécialité Mathématiques ;
• parmi les élèves ayant choisi la spécialité Mathématiques, $80\%$ réussissent l'examen final ;
• parmi les élèves n'ayant pas choisi la spécialité Mathématiques, $60\%$ réussissent l'examen final.

On choisit au hasard un élève de terminale. On note les événements :

• $M$ : « l'élève a choisi la spécialité Mathématiques » ;
• $R$ : « l'élève réussit l'examen final ».

Partie A

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité $P(M\cap R)$.

3. Démontrer que la probabilité que l'élève réussisse l'examen est $P(R)=0,71$.

4. Un élève a réussi l'examen. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la spécialité Mathématiques. On arrondira au millième.

5. Les événements $M$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B — QCM

Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Indiquer la réponse choisie et la justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. La probabilité qu'un élève choisi au hasard ait choisi la spécialité Mathématiques sachant qu'il a échoué à l'examen est, arrondie au millième :

  a) $0,379$    b) $0,110$    c) $0,550$    d) $0,200$

2. On interroge successivement et de façon indépendante $5$ élèves choisis au hasard dans ce lycée. La probabilité qu'exactement $4$ d'entre eux réussissent l'examen est, arrondie au millième :

  a) $0,254$    b) $0,368$    c) $0,710$    d) $0,179$