Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°5)

Durée : 4 heures — 20 points. L'usage de la calculatrice est autorisé. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte.

Exercice 1 — Suites et récurrence (7 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>6$. Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est décroissante, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\le u_n$.

3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-6$.

  a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_0$.

  b. En déduire l'expression de $v_n$, puis de $u_n$, en fonction de $n$.

  c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=v_0+v_1+\cdots +v_n=\sum _{k=0}^n{v}_k$.

  a. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

  b. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$.

Exercice 2 — Calcul intégral (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;1]$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Étudier le signe de $f(x)$ sur $[0;1]$.

2. On souhaite calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$.

  a. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que :

  (On pourra poser $u(x)=x+1$ et $v^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}$.)

  b. En déduire que $I=3-\frac{5}{\mathrm{e}}$.

3. En déduire, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

4. Déterminer la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;1]$.

5. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $g(x)=-(x+2){\mathrm{e}}^{-x}$. Vérifier que $g$ est une primitive de $f$ sur $[0;1]$, et retrouver ainsi la valeur de $I$.

Exercice 3 — Probabilités (6 points)

Une entreprise fabrique en grande série des composants électroniques. On admet que la probabilité qu'un composant pris au hasard dans la production soit défectueux est égale à $0,05$.

On prélève au hasard un échantillon de $20$ composants dans la production. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un tel échantillon, associe le nombre de composants défectueux qu'il contient.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne exactement $2$ composants défectueux. On donnera une valeur approchée au millième.

3. Calculer la probabilité que l'échantillon ne contienne aucun composant défectueux. On donnera une valeur approchée au millième.

4. Calculer la probabilité $P(X\ge 1)$ qu'au moins un composant de l'échantillon soit défectueux. On donnera une valeur approchée au millième et on interprétera ce résultat.

5. Déterminer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de la variable aléatoire $X$. Interpréter la valeur de l'espérance.

6. Un client n'accepte une livraison que si l'échantillon contient au plus un composant défectueux. Calculer la probabilité que la livraison soit acceptée, au millième.