Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°4)

Durée : 4 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte. Le barème est sur 20 points.

Exercice 1 — Dérivation et convexité (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=(x^2-3x+3)e^x.$$

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Partie A — Étude des variations

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. On admettra que $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2{e}^x=0$.
2. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=(x^2-x)e^x$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. Préciser les valeurs $f(0)$ et $f(1)$.

Partie B — Convexité et point d'inflexion

5. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime \prime }(x)=(x^2+x-1)e^x$.
6. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$. On donnera les valeurs exactes des racines.
7. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe, puis concave.
8. Justifier que ${\mathcal{C}}_f$ admet exactement deux points d'inflexion, dont on précisera les abscisses (valeurs exactes).

Partie C — Tangente

9. Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.
10. Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$. Que peut-on en conclure ?

Exercice 2 — Primitives et équation différentielle (7 points)

Partie A — Calcul de primitives

1. Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(2x-1)e^{x^2-x}$.
2. Déterminer la primitive $H$ de la fonction $h$ définie sur $]0;+\infty [$ par $h(x)=3x^2+\frac{2}{x}$, qui vérifie $H(1)=5$.

Partie B — Refroidissement d'un objet (équation différentielle)

On modélise la température (en degrés Celsius) d'un objet sorti d'un four et placé dans une pièce. On note $\theta (t)$ sa température à l'instant $t$ (en heures), pour $t⩾0$. D'après la loi de refroidissement de Newton, $\theta$ est solution sur $[0;+\infty [$ de l'équation différentielle :

$$(E){\theta }^{\prime }(t)=-0,5\theta (t)+10,$$

avec la condition initiale $\theta (0)=80$.

3. Résoudre l'équation différentielle homogène ${\theta }^{\prime }(t)=-0,5\theta (t)$.
4. Vérifier que la fonction constante ${\theta }_p:t\mapsto 20$ est une solution particulière de $(E)$.
5. En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$, puis déterminer l'unique solution vérifiant $\theta (0)=80$.
6. Déterminer la limite de $\theta (t)$ lorsque $t\to +\infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte (température de la pièce).
7. Déterminer, par le calcul, l'instant $t_0$ (en heures, arrondi au centième) à partir duquel la température de l'objet devient inférieure ou égale à $30$°C.

Exercice 3 — Combinatoire et dénombrement (6 points)

Une urne contient $12$ boules indiscernables au toucher : $5$ boules rouges, $4$ boules bleues et $3$ boules vertes. On tire simultanément $4$ boules de l'urne. On suppose que tous les tirages possibles sont équiprobables.

1. Justifier que le nombre total de tirages possibles est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)$, puis calculer cette valeur.
2. Déterminer le nombre de tirages constitués uniquement de boules rouges.
3. Déterminer le nombre de tirages contenant exactement $2$ boules rouges. En déduire la probabilité de l'événement $A$ : « le tirage contient exactement $2$ boules rouges » (résultat sous forme de fraction irréductible).
4. Déterminer le nombre de tirages ne contenant aucune boule verte. En déduire la probabilité de l'événement $B$ : « le tirage contient au moins une boule verte ».
5. Déterminer le nombre de tirages contenant au moins une boule de chaque couleur.