Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°3)

Exercice 1 — Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x^3-3x-1.$$

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$, puis étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Préciser les valeurs des extremums locaux $f(-1)$ et $f(1)$.

4. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions réelles, notées $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ avec $\alpha <\beta <\gamma$. (On justifiera soigneusement l'emploi du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle.)

5. Donner un encadrement de la solution $\gamma$ (la plus grande) à $10^{-1}$ près, en justifiant.

6. En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ appartenant à l'intervalle $[0;2]$.

Exercice 2 — Convexité et étude d'une fonction (7 points)

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$g(x)=x^3-6x^2+9x+1.$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.

2. Calculer la dérivée $g^{\prime }(x)$, puis montrer que $g^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$.

3. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$. On précisera les valeurs des extremums locaux.

4. Calculer la dérivée seconde $g^{\prime \prime }(x)$.

5. Étudier le signe de $g^{\prime \prime }(x)$ et en déduire les intervalles sur lesquels $g$ est convexe et ceux sur lesquels $g$ est concave.

6. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion $I$ dont on précisera les coordonnées.

7. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'inflexion $I$.

Exercice 3 — Probabilités conditionnelles et QCM (7 points)

Partie A — Probabilités conditionnelles (4 points)

Une usine fabrique des composants électroniques sur deux chaînes de production $A$ et $B$. La chaîne $A$ produit $60\%$ des composants, la chaîne $B$ produit le reste. On constate que :

• $3\%$ des composants issus de la chaîne $A$ sont défectueux ;
• $5\%$ des composants issus de la chaîne $B$ sont défectueux.

On prélève au hasard un composant de la production totale. On note les événements :

• $A$ : « le composant provient de la chaîne $A$ » ;
• $B$ : « le composant provient de la chaîne $B$ » ;
• $D$ : « le composant est défectueux ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité $P(A\cap D)$.

3. Démontrer que la probabilité qu'un composant prélevé soit défectueux est $P(D)=0,038$.

4. Un composant prélevé est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de la chaîne $B$. On donnera la valeur arrondie à $10^{-3}$ près.

Partie B — QCM (3 points)

Pour chacune des quatre questions, une seule réponse est exacte. Indiquer la réponse et la justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Question 1. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$. La limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)$ vaut :

a. $0$    b. $1$    c. $+\infty$    d. $\frac{1}{2}$

Question 2. On considère deux événements $E$ et $F$ tels que $P(E)=0,4$, $P(F)=0,5$ et $P(E\cap F)=0,2$. Les événements $E$ et $F$ sont :

a. incompatibles    b. indépendants    c. contraires    d. tels que $P(E\cup F)=0,9$

Question 3. La fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x^4-6x^2+5$ est convexe sur :

a. $\mathbb{R}$    b. $[-1;1]$    c. $]-\infty ;-1]\cup [1;+\infty [$    d. $[0;+\infty [$

Question 4. Soit la fonction $v$ continue sur $[1;4]$ telle que $v(1)=-2$ et $v(4)=3$. On peut affirmer que :

a. $v$ est croissante sur $[1;4]$    b. l'équation $v(x)=0$ admet au moins une solution dans $[1;4]$    c. l'équation $v(x)=0$ admet exactement une solution dans $[1;4]$    d. $v(x)>0$ pour tout $x\in [1;4]$