Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°2)

Exercice 1 — Fonction logarithme (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $$f(x)=x-2+\ln (x).$$ On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$, puis étudier son signe. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations.

3. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$, et justifier que $1<\alpha <2$.

4. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ (on pourra utiliser que $f(1,5)\approx -0,094$ et $f(1,6)\approx 0,070$).

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $1$.

Exercice 2 — Calcul intégral (6 points)

On s'intéresse à la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=\ln (x)$, et à l'intégrale $$I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln (x)\mathrm{d}x.$$

1. Justifier que la fonction $g$ est continue sur l'intervalle $[1;e]$, de sorte que l'intégrale $I$ est bien définie.

2. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I=1$.

3. En déduire l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe représentative de $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.

4. On pose $J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}(\ln (x){)}^2\mathrm{d}x$. En remarquant que $(\ln (x){)}^2=1\times (\ln (x){)}^2$, démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J=e-2I$, puis calculer la valeur exacte de $J$.

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace (7 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. On considère les points $$A(1;0;2),B(2;1;0),C(0;2;1).$$

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2. a) Démontrer que le vecteur $\vec{n}(1;1;1)$ est normal au plan $(ABC)$.
b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z-3=0$.

3. On considère la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $D(3;1;2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;1;1)$. Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

4. Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

5. Déterminer les coordonnées du point $P$, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $(ABC)$.

6. En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.