Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°18)

Exercice 1 — Fonction avec logarithme (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :

$$f(x)=2-x+\ln (x).$$

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

Partie A — Étude de la fonction.

1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.

2. Montrer que, pour tout $x$ de $]0;+\infty [$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{x}.$$

3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

4. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\infty [$. On note $\alpha$ la plus petite et $\beta$ la plus grande. Donner un encadrement de $\alpha$ et de $\beta$ d'amplitude $0,1$.

Partie B — Calcul d'aire.

On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle $[1;3]$, on a $f(x)⩾0$.

5. Justifier que la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty [$ par

$$F(x)=3x-\frac{x^2}{2}+x\ln (x)$$

est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$.

6. On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=3$. Montrer que :

$$\mathcal{A}=3\ln (3)-2.$$

7. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-2}$ près.

Exercice 2 — Suites et intégrales (6 points)

Pour tout entier naturel $n$, on définit l'intégrale :

$$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n{e}^{-x}dx.$$

1. Calculer $I_0$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout entier naturel $n$ :

$$I_{n+1}=(n+1)I_n-e^{-1}.$$

3. En déduire la valeur exacte de $I_1$.

4. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $I_n⩾0$.

b. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.

c. En déduire que la suite $(I_n)$ est convergente.

5. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ de $[0;1]$, on a $0⩽x^n{e}^{-x}⩽x^n$.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ :

$$0⩽I_n⩽\frac{1}{n+1}.$$

c. Déterminer la limite de la suite $(I_n)$.

Exercice 3 — Probabilités (7 points)

Dans un lycée, les élèves de Terminale peuvent suivre l'option « mathématiques expertes ». Une étude statistique montre que :

• $40\%$ des élèves suivent cette option ;
• parmi les élèves qui suivent l'option, $85\%$ obtiennent une mention au baccalauréat ;
• parmi les élèves qui ne suivent pas l'option, $60\%$ obtiennent une mention.

On choisit au hasard un élève de Terminale de ce lycée. On considère les événements :

• $O$ : « l'élève suit l'option mathématiques expertes » ;
• $M$ : « l'élève obtient une mention au baccalauréat ».

Partie A.

1. Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.

2. Calculer la probabilité que l'élève suive l'option et obtienne une mention.

3. Montrer que la probabilité que l'élève obtienne une mention est $P(M)=0,70$.

4. Un élève a obtenu une mention au baccalauréat. Quelle est la probabilité qu'il ait suivi l'option mathématiques expertes ? On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

Partie B.

On choisit au hasard, de façon indépendante, $10$ élèves de Terminale de ce lycée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'élèves, parmi ces $10$, qui obtiennent une mention au baccalauréat.

5. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

6. Calculer la probabilité que exactement $7$ de ces élèves obtiennent une mention. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

7. Calculer la probabilité qu'au moins $8$ de ces élèves obtiennent une mention. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

8. Déterminer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.