Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°17)

Durée : 4 heures. L'usage de la calculatrice est autorisé. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Étude d'une fonction combinant exp et ln (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :

$$f(x)=x-\ln (x)+\frac{1}{x}.$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Partie A — Étude des limites et des variations.

1. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. On précisera la nature de l'asymptote correspondante.

2. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. On pourra écrire $f(x)=x\left(1-\frac{\ln (x)}{x}+\frac{1}{x^2}\right)$.

3. Montrer que pour tout réel $x>0$ : $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2}$.

4. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$ et dresser le tableau de variations de $f$. On notera $\alpha$ la valeur en laquelle $f$ atteint son minimum.

5. Donner la valeur exacte de $\alpha$, puis vérifier que $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Partie B — Convexité.

1. Montrer que pour tout réel $x>0$ : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{x+2}{x^3}$.

2. Étudier la convexité de $f$ sur $]0;+\infty [$ et préciser l'abscisse de l'éventuel point d'inflexion de $\mathcal{C}$.

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace (7 points)

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, on considère les points :

$$A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;6),D(2;3;6).$$

1. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2. Montrer que le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ est normal au plan $(ABC)$.

3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $3x+2y+z-6=0$.

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

5. On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées de $H$.

6. Calculer la distance $DH$ du point $D$ au plan $(ABC)$.

7. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est $\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \mathcal{A}\times h$, où $\mathcal{A}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.

Exercice 3 — Variables aléatoires et loi binomiale (6 points)

Une usine fabrique des composants électroniques. Une étude statistique montre que $4\%$ des composants produits présentent un défaut. On prélève au hasard un lot de $50$ composants dans la production. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux parmi les $50$ prélevés.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Donner l'expression de $P(X=k)$ pour un entier $k$ compris entre $0$ et $50$.

3. Calculer la probabilité qu'aucun composant du lot ne soit défectueux. On donnera une valeur arrondie à $10^{-3}$.

4. Calculer la probabilité qu'au moins un composant du lot soit défectueux, arrondie à $10^{-3}$.

5. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement deux composants défectueux, arrondie à $10^{-3}$.

6. Déterminer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de $X$ (valeur de $\sigma (X)$ arrondie à $10^{-2}$). Interpréter l'espérance.

7. Le service qualité décide de bloquer un lot dès qu'il contient strictement plus de $4$ composants défectueux. À l'aide de la calculatrice, déterminer $P(X⩽4)$ arrondie à $10^{-3}$, puis en déduire la probabilité qu'un lot soit bloqué.