Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°16)

Exercice 1 — Limites et continuité (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :

$$f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x}.$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Partie A — Étude d'une fonction auxiliaire.

On admet que pour tout réel $x>0$, $f(x)=x-2+\frac{2}{x}$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $0$ (par valeurs supérieures). Interpréter graphiquement le résultat.

2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

3. Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x-2$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.

4. Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$ sur $]0;+\infty [$.

Partie B — Variations et résolution d'équation.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$ et montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-2}{x^2}$.

2. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $]0;+\infty [$ (avec les limites et l'extremum).

3. Montrer que l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]\sqrt{2};+\infty [$.

4. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

Exercice 2 — Calcul intégral (6 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x{e}^{-x}\text{et}g(x)=x{e}^{-x}+x.$$

On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ leurs courbes représentatives.

1. Vérifier que pour tout réel $x$, $g(x)-f(x)=x$.

2. En déduire la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ sur $\mathbb{R}$.

3. On considère le domaine $\mathcal{A}$ délimité par les courbes ${\mathcal{C}}_f$, ${\mathcal{C}}_g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. Justifier que l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, est égale à $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\mathrm{d}x$ et calculer sa valeur.

4. On pose $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x{e}^{-x}\mathrm{d}x$. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

$$I=1-3e^{-2}.$$

5. En déduire la valeur exacte de l'intégrale $\underset{0}{\overset{2}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$.

Exercice 3 — Dénombrement et probabilités (7 points)

Une urne contient $12$ jetons indiscernables au toucher : $5$ jetons rouges, $4$ jetons verts et $3$ jetons bleus.

On tire simultanément $3$ jetons de l'urne. On admet que tous les tirages sont équiprobables.

Partie A — Dénombrement.

1. Justifier que le nombre total de tirages possibles est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$.

2. Déterminer le nombre de tirages contenant exactement $2$ jetons rouges.

3. Déterminer le nombre de tirages constitués de trois jetons de couleurs deux à deux différentes.

Partie B — QCM (probabilités).

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Indiquer la réponse choisie et la justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. La probabilité que le tirage contienne exactement $2$ jetons rouges est :

$$\text{a.}\frac{70}{220}\text{b.}\frac{10}{220}\text{c.}\frac{7}{22}\text{d.}\frac{1}{4}.$$

2. La probabilité que le tirage ne contienne aucun jeton bleu est :

$$\text{a.}\frac{1}{220}\text{b.}\frac{84}{220}\text{c.}\frac{21}{55}\text{d.}\frac{3}{12}.$$

3. Sachant que le tirage ne contient aucun jeton bleu, la probabilité qu'il contienne exactement $2$ jetons rouges est :

$$\text{a.}\frac{40}{84}\text{b.}\frac{10}{21}\text{c.}\frac{70}{84}\text{d.}\frac{1}{2}.$$

4. La probabilité que le tirage contienne au moins un jeton rouge est :

$$\text{a.}\frac{35}{220}\text{b.}\frac{185}{220}\text{c.}\frac{37}{44}\text{d.}\frac{5}{12}.$$