Bac blanc — Spécialité Mathématiques (sujet n°15)

Durée : 4 heures. La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront prises en compte. Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithme (7 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $$f(x)=\ln x+x-3.$$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1.

  a) Déterminer la limite de $f$ en $0$ (par valeurs supérieures). Interpréter graphiquement le résultat.

  b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

2.

  a) Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x>0$.

  b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $]0;+\infty [$.

3. Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

  a) Déterminer une équation de la tangente $T$.

  b) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;+\infty [$. En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $T$.

4.

  a) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$.

  b) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

  c) En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

Exercice 2 — Primitives et équation différentielle (7 points)

Dans une pièce maintenue à la température constante de $20°\text{C}$, on place à l'instant $t=0$ un récipient contenant un liquide dont la température initiale est de $80°\text{C}$. On note $T(t)$ la température du liquide (en degrés Celsius) à l'instant $t$ (en minutes). D'après la loi de refroidissement de Newton, la fonction $T$ est solution sur $[0;+\infty [$ de l'équation différentielle $$(E):y^{\prime }=-0,05y+1.$$

Partie A — Résolution de l'équation différentielle

1. Déterminer la solution constante de l'équation $(E)$.

2. On rappelle que les solutions de l'équation $y^{\prime }=ay+b$ (avec $a\ne 0$) sont les fonctions de la forme $x\mapsto K{\mathrm{e}}^{ax}-\frac{b}{a}$, où $K$ est une constante réelle. Donner l'expression générale des solutions de $(E)$.

3. Déterminer la fonction $T$ vérifiant de plus la condition initiale $T(0)=80$. Démontrer que, pour tout $t\ge 0$, $$T(t)=60{\mathrm{e}}^{-0,05t}+20.$$

Partie B — Exploitation du modèle

1. Étudier le sens de variation de la fonction $T$ sur $[0;+\infty [$.

2. Déterminer la limite de $T$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'expérience.

3. On considère que le liquide est « tiède » lorsque sa température atteint $50°\text{C}$. Déterminer, à la minute près, l'instant à partir duquel le liquide devient tiède.

4. Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à la minute près, de l'instant où la température du liquide est égale à $30°\text{C}$.

Exercice 3 — Loi binomiale (6 points)

Un semencier affirme que $90\%$ des graines d'un lot germent. Pour contrôler cette affirmation, on prélève au hasard un échantillon de $25$ graines dans un très grand stock (le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise). On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de graines qui germent parmi les $25$ prélevées.

Partie A

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer l'espérance $E(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$ de $X$.

3. Calculer la probabilité $P(X=25)$ que les $25$ graines germent toutes. Arrondir au millième.

4. Calculer la probabilité $P(X\ge 23)$. Arrondir au millième.

5. Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X\ge k)\le 0,5$. Interpréter ce résultat.

Partie B — Prise de décision

On souhaite tester l'affirmation du semencier. On adopte la règle suivante : « si le nombre de graines germées dans l'échantillon est inférieur ou égal à un seuil $c$, on rejette l'affirmation du semencier ; sinon on l'accepte ». On veut que la probabilité de rejeter à tort l'affirmation (alors qu'elle est vraie) soit strictement inférieure à $5\%$.

1. Calculer $P(X\le 19)$ et $P(X\le 20)$. Arrondir au millième.

2. En déduire la plus grande valeur du seuil $c$ qui convient.

3. Lors du contrôle, l'échantillon ne contient que $18$ graines germées. Que peut-on décider concernant l'affirmation du semencier ?